Class 10 Maths Chapter 2 Exercise 2.2 Solutions in Assamese | SEBA Class 10 Maths New Book 2026

💡 দ্বিঘাত বহুপদ ax² + bx + c ৰ বাবে সূত্ৰসমূহ:
• শূন্য দুটাৰ যোগফল (α + β) = -b / a = -(x ৰ সহগ) / (x² ৰ সহগ)
• শূন্য দুটাৰ পূৰণফল (αβ) = c / a = (ধ্ৰুৱক পদ) / (x² ৰ সহগ)

প্ৰশ্ন ১: তলৰ দ্বিঘাত বহুপদবোৰৰ শূন্য উলিওৱা আৰু এই শূন্যবোৰ আৰু সহগবোৰৰ মাজৰ সম্পৰ্ক সত্যাপন কৰা:

(i) x² - 2x - 8
সমাধান:
ধৰো, p(x) = x² - 2x - 8
= x² - 4x + 2x - 8
= x(x - 4) + 2(x - 4)
= (x - 4)(x + 2)

p(x) ৰ মান শূন্য হ'ব, যেতিয়া (x - 4) = 0 বা (x + 2) = 0 হ'ব।
⇒ x = 4 বা x = -2
অতএব, x² - 2x - 8 বহুপদটোৰ শূন্য দুটা হ'ল α = 4 আৰু β = -2।

সহগবোৰৰ সৈতে সম্পৰ্কৰ সত্যাপন:
ইয়াত, a = 1, b = -2 আৰু c = -8।
(a) শূন্য দুটাৰ যোগফল (α + β) = 4 + (-2) = 2 = -(-2) / 1 = -b / a = -(x ৰ সহগ) / (x² ৰ সহগ)
(b) শূন্য দুটাৰ পূৰণফল (αβ) = 4 × (-2) = -8 = -8 / 1 = c / a = (ধ্ৰুৱক পদ) / (x² ৰ সহগ)
(সত্যাপিত হ'ল)

---

(ii) 4s² - 4s + 1
সমাধান:
ধৰো, p(s) = 4s² - 4s + 1
= (2s)² - 2(2s)(1) + (1)²
= (2s - 1)² = (2s - 1)(2s - 1)

p(s) ৰ মান শূন্য হ'ব, যেতিয়া 2s - 1 = 0 বা 2s - 1 = 0।
⇒ s = 1/2 বা s = 1/2
অতএব, বহুপদটোৰ শূন্য দুটা α = 1/2 আৰু β = 1/2।

সহগবোৰৰ সৈতে সম্পৰ্কৰ সত্যাপন:
ইয়াত, a = 4, b = -4, c = 1।
(a) α + β = 1/2 + 1/2 = 1 = -(-4) / 4 = -b / a
(b) αβ = (1/2) × (1/2) = 1/4 = c / a
(সত্যাপিত হ'ল)

---

(iii) 6x² - 3 - 7x
সমাধান:
প্ৰথমে বহুপদটো ক্ৰমানুসাৰে সজাই পাওঁ:
p(x) = 6x² - 7x - 3
= 6x² - 9x + 2x - 3
= 3x(2x - 3) + 1(2x - 3)
= (2x - 3)(3x + 1)

p(x) = 0 হ'ব যদিহে 2x - 3 = 0 বা 3x + 1 = 0।
⇒ x = 3/2 বা x = -1/3
অতএব, শূন্য দুটা α = 3/2 আৰু β = -1/3।

সহগবোৰৰ সৈতে সম্পৰ্কৰ সত্যাপন:
ইয়াত, a = 6, b = -7, c = -3।
(a) α + β = 3/2 + (-1/3) = (9 - 2) / 6 = 7/6 = -(-7) / 6 = -b / a
(b) αβ = (3/2) × (-1/3) = -3/6 = c / a
(সত্যাপিত হ'ল)

---

(iv) 4u² + 8u
সমাধান:
ধৰো, p(u) = 4u² + 8u
= 4u(u + 2)

p(u) = 0 হ'ব যদিহে 4u = 0 বা u + 2 = 0।
⇒ u = 0 বা u = -2
অতএব, শূন্য দুটা α = 0 আৰু β = -2।

সহগবোৰৰ সৈতে সম্পৰ্কৰ সত্যাপন:
ইয়াত, a = 4, b = 8, c = 0।
(a) α + β = 0 + (-2) = -2 = -8 / 4 = -b / a
(b) αβ = 0 × (-2) = 0 = 0 / 4 = c / a
(সত্যাপিত হ'ল)

---

(v) t² - 15
সমাধান:
ধৰো, p(t) = t² - 15
= t² - (√15)²
= (t - √15)(t + √15)

p(t) = 0 হ'ব যদিহে t - √15 = 0 বা t + √15 = 0।
⇒ t = √15 বা t = -√15
অতএব, শূন্য দুটা α = √15 আৰু β = -√15।

সহগবোৰৰ সৈতে সম্পৰ্কৰ সত্যাপন:
ইয়াত, a = 1, b = 0, c = -15।
(a) α + β = √15 + (-√15) = 0 = -0 / 1 = -b / a
(b) αβ = (√15) × (-√15) = -15 = -15 / 1 = c / a
(সত্যাপিত হ'ল)

---

(vi) 3x² - x - 4
সমাধান:
ধৰো, p(x) = 3x² - x - 4
= 3x² - 4x + 3x - 4
= x(3x - 4) + 1(3x - 4)
= (3x - 4)(x + 1)

p(x) = 0 হ'ব যদিহে 3x - 4 = 0 বা x + 1 = 0।
⇒ x = 4/3 বা x = -1
অতএব, শূন্য দুটা α = 4/3 আৰু β = -1।

সহগবোৰৰ সৈতে সম্পৰ্কৰ সত্যাপন:
ইয়াত, a = 3, b = -1, c = -4।
(a) α + β = 4/3 + (-1) = (4 - 3)/3 = 1/3 = -(-1)/3 = -b / a
(b) αβ = (4/3) × (-1) = -4/3 = c / a
(সত্যাপিত হ'ল)

প্ৰশ্ন ২: তলৰ যোৰকেইটাৰ সংখ্যা দুটাক ক্ৰমে শূন্যবোৰৰ সমষ্টি আৰু গুণফল হিচাপে ধৰি একোটা দ্বিঘাত বহুপদ নিৰ্ণয় কৰা:

(i) 1/4, -1
সমাধান:
দিয়া আছে, α + β = 1/4 আৰু αβ = -1
নিৰ্ণেয় দ্বিঘাত বহুপদটো = x² - (α + β)x + αβ
= x² - (1/4)x + (-1)
= x² - x/4 - 1
হৰ 4 আতৰাবলৈ 4 ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ:
= 4x² - x - 4

---

(ii) √2, 1/3
সমাধান:
দিয়া আছে, α + β = √2 আৰু αβ = 1/3
নিৰ্ণেয় বহুপদটো = x² - (α + β)x + αβ
= x² - √2x + 1/3
3 ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ:
= 3x² - 3√2x + 1

---

(iii) 0, √5
সমাধান:
দিয়া আছে, α + β = 0 আৰু αβ = √5
নিৰ্ণেয় বহুপদটো = x² - (0)x + √5
= x² + √5

---

(iv) 1, 1
সমাধান:
দিয়া আছে, α + β = 1 আৰু αβ = 1
নিৰ্ণেয় বহুপদটো = x² - (1)x + 1
= x² - x + 1

---

(v) -1/4, 1/4
সমাধান:
দিয়া আছে, α + β = -1/4 আৰু αβ = 1/4
নিৰ্ণেয় বহুপদটো = x² - (-1/4)x + 1/4
= x² + x/4 + 1/4
4 ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ:
= 4x² + x + 1

---

(vi) 4, 1
সমাধান:
দিয়া আছে, α + β = 4 আৰু αβ = 1
নিৰ্ণেয় বহুপদটো = x² - (4)x + 1
= x² - 4x + 1

প্ৰশ্ন ৩: দ্বিঘাত বহুপদবোৰ নিৰ্ণয় কৰা যাৰ শূন্যকেইটা তলত দিয়া ধৰণৰ:

(i) -4 আৰু 3/2
সমাধান:
ধৰো, α = -4 আৰু β = 3/2।
∴ যোগফল (α + β) = -4 + 3/2 = (-8 + 3) / 2 = -5/2
আৰু গুণফল (αβ) = (-4) × (3/2) = -6

নিৰ্ণেয় বহুপদটো = x² - (α + β)x + αβ
= x² - (-5/2)x + (-6)
= x² + 5x/2 - 6
2 ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ:
= 2x² + 5x - 12

---

(ii) 5 আৰু 2
সমাধান:
ধৰো, α = 5 আৰু β = 2।
∴ α + β = 5 + 2 = 7 আৰু αβ = 5 × 2 = 10
নিৰ্ণেয় বহুপদটো = x² - 7x + 10
= x² - 7x + 10

---

(iii) 1/3 আৰু -1
সমাধান:
ধৰো, α = 1/3 আৰু β = -1।
∴ α + β = 1/3 + (-1) = -2/3 আৰু αβ = (1/3)(-1) = -1/3
নিৰ্ণেয় বহুপদটো = x² - (-2/3)x + (-1/3) = x² + 2x/3 - 1/3
3 ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ:
= 3x² + 2x - 1

---

(iv) 3/2 আৰু -2
সমাধান:
ধৰো, α = 3/2 আৰু β = -2।
∴ α + β = 3/2 - 2 = -1/2 আৰু αβ = (3/2)(-2) = -3
নিৰ্ণেয় বহুপদটো = x² - (-1/2)x + (-3) = x² + x/2 - 3
2 ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ:
= 2x² + x - 6

প্ৰশ্ন ৪ - ১১: বহুবিকল্পভিত্তিক আৰু চমু প্ৰশ্ন সমাধান:

প্ৰশ্ন ৪: যদি α আৰু β বহুপদ x² - p(x + 1) + c ৰ দুটা শূন্য হয় যাতে (α + 1)(β + 1) = 0, তেন্তে c ৰ মান হ'ব:
সমাধান:
p(x) = x² - px - p + c = x² - px + (c - p)
α + β = p আৰু αβ = c - p
দিয়া আছে: (α + 1)(β + 1) = 0
⇒ αβ + α + β + 1 = 0
⇒ (c - p) + p + 1 = 0
⇒ c + 1 = 0 ⇒ c = -1
উত্তৰ: (c) -1

---

প্ৰশ্ন ৫: যদি a - b, a আৰু a + b বহুপদ p(x) = x³ - 3x² - 6x + 8 ৰ শূন্য হয়, তেন্তে a আৰু b ৰ মান হ'ব:
সমাধান:
শূন্যবোৰৰ সমষ্টি = (a - b) + a + (a + b) = -(-3)/1 = 3
⇒ 3a = 3 ⇒ a = 1
পূৰণফল = a(a - b)(a + b) = -8/1 = -8
⇒ 1(1 - b²) = -8 ⇒ b² = 9 ⇒ b = ±3
উত্তৰ: (b) (i) আৰু (ii)

---

প্ৰশ্ন ৬: উক্তি (A): যদি α আৰু β বহুপদ x² - 6x + p ৰ শূন্য যাতে (α + β)² - 2αβ = 40, তেন্তে p = -1।
যুক্তি (R): ax² + bx + c ৰ শূন্যৰ যোগফল -b/a আৰু পূৰণফল c/a।
সমাধান:
α + β = 6, αβ = p
(6)² - 2p = 40 ⇒ 36 - 2p = 40 ⇒ -2p = 4 ⇒ p = -2 (উক্তি A ভুল, কিন্তু যুক্তি R সত্য)।
উত্তৰ: (d) উক্তি (A) অশুদ্ধ, যুক্তি (R) শুদ্ধ।

---

প্ৰশ্ন ৭: স্তম্ভ মিলোৱা:
(A) x² - 7x + 12 → (Q) 7, 12
(B) x² + 7x + 12 → (R) -7, 12
(C) x² - 7x - 12 → (P) 7, -12
উত্তৰ: (b) A→Q, B→R, C→P

---

প্ৰশ্ন ৮: উক্তি (i): ৰৈখিক বহুপদৰ লেখ এডাল সৰল ৰেখা। উক্তি (ii): এটা বহুপদত চলক হৰ হিচাপে নাথাকে।
উত্তৰ: (a) উক্তি (i) আৰু উক্তি (ii) দুয়োটাই সত্য।

---

প্ৰশ্ন ৯: যদি p² = 32 / 50 হয়:
p² = 16/25 ⇒ p = ±4/5 (ই পৰিমেয় আৰু বাস্তৱ সংখ্যা)।
উত্তৰ: (a) (ii) আৰু (iv) দুয়োটাই সত্য

---

প্ৰশ্ন ১০: যদি x³ + ax² + bx + c বহুপদটোৰ এটা শূন্য -1 হয়, তেন্তে আন শূন্য দুটাৰ পূৰণফল হ'ব:
সমাধান:
p(-1) = 0 ⇒ -1 + a - b + c = 0 ⇒ c = b - a + 1
তিনিটা শূন্যৰ পূৰণফল αβγ = -c ⇒ (-1) × βγ = -c ⇒ βγ = c = b - a + 1
উত্তৰ: (a) b - a + 1

---

প্ৰশ্ন ১১: α আৰু β দ্বিঘাত বহুপদ x² - 6x + a ৰ দুটা শূন্য। যদি 3α + 2β = 20 হয়, তেন্তে a ৰ মান হ'ব:
সমাধান:
α + β = 6 ------ (1)
3α + 2β = 20 ⇒ 2(α + β) + α = 20 ⇒ 2(6) + α = 20 ⇒ α = 8
(1) ৰ পৰা: β = 6 - 8 = -2
a = αβ = 8 × (-2) = -16
উত্তৰ: (d) -16

প্ৰশ্ন ১২ - ১৭: বহলাই কৰিবলগীয়া সমাধানসমূহ:

প্ৰশ্ন ১২: যদি α আৰু β বহুপদ 2x² - 5x + 7 ৰ শূন্য হয়, তেন্তে আন একটা বহুপদ নিৰ্ণয় কৰা যাৰ শূন্য 2α + 3β আৰু 3α + 2β।
সমাধান:
α + β = 5/2, αβ = 7/2
নতুন শূন্য দুটাৰ যোগফল = (2α + 3β) + (3α + 2β) = 5(α + β) = 5 × (5/2) = 25/2
নতুন শূন্য দুটাৰ পূৰণফল = (2α + 3β)(3α + 2β) = 6(α + β)² + αβ
= 6(5/2)² + 7/2 = 6(25/4) + 7/2 = 75/2 + 7/2 = 41
অতএব, নিৰ্ণেয় বহুপদটো = x² - (25/2)x + 41
= 2x² - 25x + 82

---

প্ৰশ্ন ১৩: যদি α আৰু β বহুপদ ax² + bx + c ৰ শূন্য হয়, তেন্তে মান নিৰ্ণয় কৰা:
α + β = -b/a, αβ = c/a

(i) α² + β² = (α + β)² - 2αβ = (b² - 2ac) / a²
(ii) α² + αβ + β² = (α + β)² - αβ = (b² - ac) / a²
(iii) α²β + αβ² = αβ(α + β) = -bc / a²
(iv) α - β = √[(α + β)² - 4αβ] = √(b² - 4ac) / a
(v) α² + β² - αβ = (α + β)² - 3αβ = (b² - 3ac) / a²

---

প্ৰশ্ন ১৪: যদি বহুপদ kx² + 2x + 3k ৰ শূন্য দুটাৰ যোগফল আৰু পূৰণফল সমান, তেন্তে k ৰ মান উলিওৱা।
সমাধান:
α + β = -2/k, αβ = 3k/k = 3
প্ৰশ্নমতে: -2/k = 3 ⇒ 3k = -2 ⇒ k = -2/3

---

প্ৰশ্ন ১৫: যদি α আৰু β দ্বিঘাত বহুপদ f(x) = x² - 5x + 4 ৰ শূন্য হয়, তেন্তে 1/α + 1/β - 2αβ ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান:
α + β = 5, αβ = 4
1/α + 1/β - 2αβ = (α + β)/αβ - 2αβ = 5/4 - 2(4) = 5/4 - 8 = -27 / 4

---

প্ৰশ্ন ১৬: ত্ৰিঘাত বহুপদটো নিৰ্ণয় কৰা যাৰ শূন্যৰ যোগফল, দুটা দুটাকৈ লৈ পূৰণফলৰ যোগফল আৰু পূৰণফল ক্ৰমে 2, -7, -14।
সমাধান:
p(x) = x³ - (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x - αβγ
= x³ - (2)x² + (-7)x - (-14)
= x³ - 2x² - 7x + 14

---

প্ৰশ্ন ১৭: ওলমি থকা তাঁৰেৰে সৈতে গাণিতিক আৰ্হিৰ দলং (Case Study Base):
(i) ওলমি থকা তাঁৰৰ আকৃতিৰ নামটো হ'ল → (C) অধিবৃত্ত (Parabola)
(ii) চিত্ৰটো বুজাবলৈ বহুপদটোৰ প্ৰকাশ ৰাশি → (b) y = ax² + bx + c
(iii) বহুপদটোৰ শূন্যৰ সংখ্যা কাৰ সমান → (a) x অক্ষক ছেদ কৰা বিন্দু
(iv) শূন্যৰ যোগফল -3 আৰু পূৰণফল 5 হ'লে → x² - (-3)x + 5 = (d) x² + 3x + 5
(v) দ্বিঘাত বহুপদ এটাৰ লেখটো → (c) অধিবৃত্ত

Q1. দ্বিঘাত বহুপদৰ শূন্য আৰু সহগৰ সম্পৰ্ক কি?

Ans: ax² + bx + c ৰ বাবে: শূন্যৰ সমষ্টি α + β = -b/a আৰু পূৰণফল αβ = c/a।