Class 10 Maths Chapter 3 Exercise 3.1 Solutions in Assamese | SEBA Class 10 Maths New Book 2026

💡 দুটা সমীকৰণ a₁x + b₁y + c₁ = 0 আৰু a₂x + b₂y + c₂ = 0 ৰ বাবে চৰ্তসমূহ:
• a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ⇒ কটাকটি কৰা ৰেখা (অদ্বিতীয় সমাধান / সংগত)
• a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ ⇒ মিলি যোৱা ৰেখা (অসীম সংখ্যক সমাধান / সংগত)
• a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ ⇒ সমান্তৰাল ৰেখা (কোনো সমাধান নাই / অসংগত)

প্ৰশ্ন ১: তলৰ সমস্যাবোৰত ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰ গঠন কৰা আৰু লৈখিকভাৱে সেইবোৰৰ সমাধান উলিওৱা:

(i) এটা গণিত কুইজত দশম শ্ৰেণীৰ 10 জন ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে অংশ গ্ৰহণ কৰিছিল। যদি ছাত্ৰতকৈ ছাত্ৰীৰ সংখ্যা 4 বেছি, তেন্তে অংশ গ্ৰহণ কৰা ছাত্ৰ আৰু ছাত্ৰীৰ সংখ্যা উলিওৱা।
সমাধান:
ধৰো, অংশগ্ৰহণ কৰা ছাত্ৰৰ সংখ্যা = x
আৰু অংশগ্ৰহণ কৰা ছাত্ৰীৰ সংখ্যা = y

প্ৰথম চৰ্তমতে:
x + y = 10 ------ (1)

দ্বিতীয় চৰ্তমতে:
y = x + 4 ⇒ x - y = -4 ------ (2)

লেখৰ বাবে বিন্দু নিৰ্ধাৰণ:
• (1) নং সমীকৰণৰ পৰা: y = 10 - x
x = 3 হ'লে, y = 7 → (3, 7)
x = 5 হ'লে, y = 5 → (5, 5)

• (2) নং সমীকৰণৰ পৰা: y = x + 4
x = 0 হ'লে, y = 4 → (0, 4)
x = 3 হ'লে, y = 7 → (3, 7)

লৈখিক সমাধান:
লেখ কাকতত বিন্দুসমূহ বহুৱাই ৰেখা দুডাল অংকন কৰিলে দেখা যায় যে ৰেখা দুডালে **(3, 7)** বিন্দুটোত পৰস্পৰক ছেদ কৰে।
অতএব, x = 3 আৰু y = 7।
উত্তৰ: ছাত্ৰৰ সংখ্যা = 3 জন আৰু ছাত্ৰীৰ সংখ্যা = 7 জন।

---

(ii) 5 ডাল পেঞ্চিল আৰু 7 টা পেনৰ দাম একেলগে 50 টকা আৰু 7 ডাল পেঞ্চিল আৰু 5 টা পেনৰ দাম একেলগে 46 টকা। এডাল পেঞ্চিল আৰু এটা পেনৰ দাম উলিওৱা।
সমাধান:
ধৰো, এডাল পেঞ্চিলৰ দাম = x টকা
আৰু এটা পেনৰ দাম = y টকা

প্ৰথম চৰ্তমতে:
5x + 7y = 50 ------ (1)

দ্বিতীয় চৰ্তমতে:
7x + 5y = 46 ------ (2)

লেখৰ বাবে বিন্দু নিৰ্ধাৰণ:
• (1) নং সমীকৰণৰ পৰা: y = (50 - 5x) / 7
x = 3 হ'লে, y = 5 → (3, 5)
x = 10 হ'লে, y = 0 → (10, 0)

• (2) নং সমীকৰণৰ পৰা: y = (46 - 7x) / 5
x = 3 হ'লে, y = 5 → (3, 5)
x = 8 হ'লে, y = -2 → (8, -2)

লৈখিক সমাধান:
লেখ অংকন কৰিলে দেখা যায় যে ৰেখা দুডালে **(3, 5)** বিন্দুত ছেদ কৰে।
উত্তৰ: এডাল পেঞ্চিলৰ দাম = 3 টকা আৰু এটা পেনৰ দাম = 5 টকা।

প্ৰশ্ন ২: a₁/a₂, b₁/b₂ আৰু c₁/c₂ অনুপাতকেইটা ৰিজাই তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰকেইটাই বুজোৱা ৰেখা দুটাই এটা বিন্দুত কাটিব, নে সমান্তৰাল হ'ব নে লগলগা, তাক নিৰ্ণয় কৰা:

(i) 5x - 4y + 8 = 0 আৰু 7x + 6y - 9 = 0
সমাধান:
a₁ = 5, b₁ = -4, c₁ = 8
a₂ = 7, b₂ = 6, c₂ = -9

a₁/a₂ = 5/7
b₁/b₂ = -4/6 = -2/3

যিহেতু a₁/a₂ ≠ b₁/b₂,
উত্তৰ: ৰেখা দুটাই এটা বিন্দুত কাটিব (ছেদ কৰিব)।

---

(ii) 9x + 3y + 12 = 0 আৰু 18x + 6y + 24 = 0
সমাধান:
a₁ = 9, b₁ = 3, c₁ = 12
a₂ = 18, b₂ = 6, c₂ = 24

a₁/a₂ = 9/18 = 1/2
b₁/b₂ = 3/6 = 1/2
c₁/c₂ = 12/24 = 1/2

যিহেতু a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂,
উত্তৰ: ৰেখা দুটা লগলগা (মিলি যোৱা বা সম্পাতী) হ'ব।

---

(iii) 6x - 3y + 10 = 0 আৰু 2x - y + 9 = 0
সমাধান:
a₁ = 6, b₁ = -3, c₁ = 10
a₂ = 2, b₂ = -1, c₂ = 9

a₁/a₂ = 6/2 = 3
b₁/b₂ = -3/-1 = 3
c₁/c₂ = 10/9

যিহেতু a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂,
উত্তৰ: ৰেখা দুটা সমান্তৰাল হ'ব।

প্ৰশ্ন ৩: অনুপাতকেইটা ৰিজাই নিৰ্ণয় কৰা তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰকেইটা সংগত নে অসংগত:

(i) 3x + 2y = 5 ; 2x - 3y = 7
a₁/a₂ = 3/2, b₁/b₂ = 2/-3 = -2/3
যিহেতু a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, উত্তৰ: সংগত

---

(ii) 2x - 3y = 8 ; 4x - 6y = 9
a₁/a₂ = 2/4 = 1/2
b₁/b₂ = -3/-6 = 1/2
c₁/c₂ = 8/9
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, উত্তৰ: অসংগত

---

(iii) (3/2)x + (5/3)y = 7 ; 9x - 10y = 14
a₁/a₂ = (3/2)/9 = 3/18 = 1/6
b₁/b₂ = (5/3)/(-10) = -5/30 = -1/6
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, উত্তৰ: সংগত

---

(iv) 5x - 3y = 11 ; -10x + 6y = -22
a₁/a₂ = 5/-10 = -1/2
b₁/b₂ = -3/6 = -1/2
c₁/c₂ = 11/-22 = -1/2
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, উত্তৰ: সংগত (পৰতন্ত্ৰ)

---

(v) (4/3)x + 2y = 8 ; 2x + 3y = 12
a₁/a₂ = (4/3)/2 = 4/6 = 2/3
b₁/b₂ = 2/3
c₁/c₂ = 8/12 = 2/3
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, উত্তৰ: সংগত

প্ৰশ্ন ৪ - ১০: অন্যান্য গুৰুত্বপূৰ্ণ প্ৰশ্নোত্তৰ:

প্ৰশ্ন ৪: তলৰ কোনবোৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ সংগত/অসংগত?
(i) x + y = 5 ; 2x + 2y = 10 → a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ = 1/2 ⇒ সংগত (অসীম সমাধান)
(ii) x - y = 8 ; 3x - 3y = 16 → a₁/a₂ = b₁/b₂ = 1/3 ≠ c₁/c₂ (1/2) ⇒ অসংগত
(iii) 2x + y - 6 = 0 ; 4x - 2y - 4 = 0 → a₁/a₂ = 1/2 ≠ b₁/b₂ (-1/2) ⇒ সংগত (x = 2, y = 2)
(iv) 2x - 2y - 2 = 0 ; 4x - 4y - 5 = 0 → a₁/a₂ = b₁/b₂ = 1/2 ≠ c₁/c₂ (2/5) ⇒ অসংগত

---

প্ৰশ্ন ৫: এখন আয়তাকাৰ বাগিচাৰ প্ৰস্থতকৈ দীঘ 4 মিটাৰ বেছি। ইয়াক পৰিসীমাৰ আধা 36 মিটাৰ। বাগিচাখনৰ দীঘ, প্ৰস্থ নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান:
ধৰো, বাগিচাখনৰ প্ৰস্থ = x মিটাৰ
আৰু বাগিচাখনৰ দীঘ = y মিটাৰ
প্ৰশ্নমতে: y = x + 4 ⇒ y - x = 4 ------ (1)
আৰু পৰিসীমাৰ আধা = দীঘ + প্ৰস্থ = 36 মিটাৰ
⇒ x + y = 36 ------ (2)
(1) আৰু (2) যোগ কৰি পাওঁ:
2y = 40 ⇒ y = 20
x = 36 - 20 = 16
উত্তৰ: দীঘ = 20 মিটাৰ আৰু প্ৰস্থ = 16 মিটাৰ।

---

প্ৰশ্ন ৬: 2x + 3y - 8 = 0 ৰৈখিক সমীকৰণটো দিয়া আছে। দুটা চলকত অন্য এটা ৰৈখিক সমীকৰণ নিৰ্ণয় কৰা যাতে গঠন হোৱা যোৰটোৰ জ্যামিতিক প্ৰদৰ্শন হ'ব:
(i) কটাকটি ৰেখা: 3x + 2y - 9 = 0 (কাৰণ 2/3 ≠ 3/2)
(ii) সমান্তৰাল ৰেখা: 2x + 3y - 12 = 0 (কাৰণ 2/2 = 3/3 ≠ -8/-12)
(iii) মিলি যোৱা ৰেখা: 4x + 6y - 16 = 0 (কাৰণ 2/4 = 3/6 = -8/-16 = 1/2)

---

প্ৰশ্ন ৭: x - y + 1 = 0 আৰু 3x + 2y - 12 = 0 সমীকৰণ দুটাৰ লেখ অংকন কৰা। এই ৰেখা দুটাই X-অক্ষৰ লগত কৰা ত্ৰিভুজটোৰ শীৰ্ষবিন্দুকেইটাৰ স্থানাংক উলিওৱা।
সমাধান:
x - y + 1 = 0 ৰ পৰা: y = x + 1 → বিন্দুসমূহ (-1, 0), (0, 1), (2, 3)
3x + 2y - 12 = 0 ৰ পৰা: y = (12 - 3x)/2 → বিন্দুসমূহ (4, 0), (0, 6), (2, 3)
লেখত অংকন কৰিলে ৰেখা দুডালে (2, 3) বিন্দুত পৰস্পৰক কাটে আৰু X-অক্ষক (-1, 0) আৰু (4, 0) বিন্দুত কাটে।
উত্তৰ: ত্ৰিভুজটোৰ শীৰ্ষবিন্দুকেইটাৰ স্থানাংক হ'ল (2, 3), (-1, 0) আৰু (4, 0)।

---

প্ৰশ্ন ৮: P ৰ কি মানৰ বাবে 4x + Py + 8 = 0 আৰু 2x + 2y + 2 = 0 ৰেখাযোৰৰ অদ্বিতীয় সমাধান থাকিব?
সমাধান:
অদ্বিতীয় সমাধানৰ চৰ্ত: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
⇒ 4/2 ≠ P/2 ⇒ 2 ≠ P/2 ⇒ P ≠ 4
উত্তৰ: (b) যেতিয়া P ≠ 4

---

প্ৰশ্ন ৯: তলৰ কোন কেইযোৰ সমীকৰণৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকিব?
(a) 2x + 3y = 6 আৰু 4x + 6y - 12 = 0
ইয়াত a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = 3/6 = 1/2, c₁/c₂ = -6/-12 = 1/2
উত্তৰ: (a) 2x + 3y = 6 আৰু 4x + 6y - 12 = 0

---

প্ৰশ্ন ১০: উক্তি (A): সমীকৰণ 2x - 3y = 0 ৰ অসীম সংখ্যক সমাধান আছে।
যুক্তি (R): দুটা চলকৰ এটা ৰৈখিক সমীকৰণে স্থানাংক সমতলত এডাল সৰল ৰেখা বুজায়।
সমাধান: এটা মাত্ৰ দুটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকে। গতিকে উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) দুয়োটাই সত্য।
উত্তৰ: (a) উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) উভয়ে সত্য আৰু যুক্তি (R) টো উক্তি (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।

Q1. সমীকৰণৰ যোৰ সংগত হ'ব নে অসংগত কেনেকৈ জানিম?

Ans: যদি অদ্বিতীয় সমাধান বা অসীম সমাধান থাকে, তেন্তে সংগত; আৰু যদি কোনো সমাধান নাথাকে (a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂), তেন্তে অসংগত[cite: 2]।