Class 10 Maths Chapter 3 Exercise 3.2 Solutions in Assamese | SEBA Class 10 Maths New Book 2026

প্ৰশ্ন ১: প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতিৰে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰবোৰ সমাধা কৰা:

(i) x + y = 14 আৰু x - y = 4
সমাধান:
দিয়া আছে সমীকৰণদ্বয়—
x + y = 14 ------ (1)
x - y = 4 ------ (2)

সমীকৰণ (2) ৰ পৰা পাওঁ:
x = 4 + y ------ (3)

(3) ৰ পৰা x ৰ মান (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ:
(4 + y) + y = 14
⇒ 4 + 2y = 14
⇒ 2y = 14 - 4
⇒ 2y = 10
⇒ y = 5

এতিয়া y = 5 ৰ মান (3) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ:
x = 4 + 5 = 9
উত্তৰ: x = 9 আৰু y = 5

---

(ii) s - t = 3 আৰু (s/3) + (t/2) = 6
সমাধান:
দিয়া আছে—
s - t = 3 ------ (1)
(s/3) + (t/2) = 6
⇒ (2s + 3t) / 6 = 6
⇒ 2s + 3t = 36 ------ (2)

সমীকৰণ (1) ৰ পৰা পাওঁ: s = 3 + t ------ (3)

s ৰ এই মান (2) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ:
2(3 + t) + 3t = 36
⇒ 6 + 2t + 3t = 36
⇒ 5t = 36 - 6
⇒ 5t = 30 ⇒ t = 6

t = 6 ৰ মান (3) ত বহুৱাই পাওঁ: s = 3 + 6 = 9
উত্তৰ: s = 9 আৰু t = 6

---

(iii) 3x - y = 3 আৰু 9x - 3y = 9
সমাধান:
3x - y = 3 ------ (1)
9x - 3y = 9 ------ (2)

সমীকৰণ (1) ৰ পৰা পাওঁ: y = 3x - 3 ------ (3)

y ৰ মান (2) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ:
9x - 3(3x - 3) = 9
⇒ 9x - 9x + 9 = 9
⇒ 9 = 9 (যিটো x ৰ সকলো মানৰ বাবে সত্য)
উত্তৰ: এই সমীকৰণযোৰৰ অসীম সংখ্যক সমাধান আছে।

---

(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3 আৰু 0.4x + 0.5y = 2.3
সমাধান:
দহমিক আঁতৰাবলৈ দুয়োটা সমীকৰণকে 10 ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ:
2x + 3y = 13 ------ (1)
4x + 5y = 23 ------ (2)

সমীকৰণ (1) ৰ পৰা: x = (13 - 3y) / 2 ------ (3)

x ৰ মান (2) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ:
4[(13 - 3y) / 2] + 5y = 23
⇒ 2(13 - 3y) + 5y = 23
⇒ 26 - 6y + 5y = 23
⇒ -y = 23 - 26 ⇒ -y = -3 ⇒ y = 3

y = 3 ৰ মান (3) ত বহুৱাই পাওঁ: x = (13 - 3×3)/2 = (13 - 9)/2 = 4/2 = 2
উত্তৰ: x = 2 আৰু y = 3

---

(v) √2x + √3y = 0 আৰু √3x - √8y = 0
সমাধান:
√2x + √3y = 0 ------ (1)
√3x - √8y = 0 ------ (2)

সমীকৰণ (1) ৰ পৰা: x = (-√3y) / √2 ------ (3)

x ৰ মান (2) ত বহুৱাই পাওঁ:
√3 [(-√3y) / √2] - √8y = 0
⇒ -3y / √2 - 2√2y = 0
⇒ y [(-3 / √2) - 2√2] = 0 ⇒ y = 0

y = 0 ৰ মান (3) ত বহুৱাই পাওঁ: x = 0
উত্তৰ: x = 0 আৰু y = 0

---

(vi) (3x/2) - (5y/3) = -2 আৰু (x/3) + (y/2) = 13/6
সমাধান:
ল.সা.গু. লৈ সৰল কৰি পাওঁ:
9x - 10y = -12 ------ (1)
2x + 3y = 13 ------ (2)

সমীকৰণ (2) ৰ পৰা: x = (13 - 3y) / 2 ------ (3)

x ৰ মান (1) ত বহুৱাই পাওঁ:
9[(13 - 3y) / 2] - 10y = -12
⇒ 117 - 27y - 20y = -24
⇒ -47y = -24 - 117 ⇒ -47y = -141 ⇒ y = 3

y = 3 ৰ মান (3) ত বহুৱাই পাওঁ: x = (13 - 3×3)/2 = 4/2 = 2
উত্তৰ: x = 2 আৰু y = 3

প্ৰশ্ন ২: 2x + 3y = 11 আৰু 2x - 4y = -24 ক সমাধা কৰা। ইয়াৰ পৰা 'm' ৰ মান উলিওৱা যাতে y = mx + 3 হয়।

সমাধান:
দিয়া সমীকৰণ দুটা:
2x + 3y = 11 ------ (1)
2x - 4y = -24 ------ (2)

সমীকৰণ (2) ৰ পৰা: 2x = 4y - 24 ⇒ x = 2y - 12 ------ (3)

x ৰ মান (1) ত বহুৱাই পাওঁ:
2(2y - 12) + 3y = 11
⇒ 4y - 24 + 3y = 11
⇒ 7y = 11 + 24
⇒ 7y = 35 ⇒ y = 5

y = 5 ৰ মান (3) ত বহুৱাই পাওঁ: x = 2(5) - 12 = 10 - 12 = -2

এতিয়া, y = mx + 3 সমীকৰণত x = -2 আৰু y = 5 বহুৱাই পাওঁ:
5 = m(-2) + 3
⇒ 5 - 3 = -2m
⇒ 2 = -2m ⇒ m = -1
উত্তৰ: x = -2, y = 5 আৰু m = -1

প্ৰশ্ন ৩: তলৰ সমস্যাবোৰৰ ক্ষেত্ৰত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ গঠন কৰা আৰু প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতিৰে সিহঁতৰ সমাধান উলিওৱা:

(i) দুটা সংখ্যাৰ পাৰ্থক্য 26। এটা সংখ্যা আনটোৰ তিনিগুণ হ'লে সংখ্যা দুটা উলিওৱা।
সমাধান:
ধৰো, ডাঙৰ সংখ্যাটো = x আৰু সৰু সংখ্যাটো = y
প্ৰথম চৰ্তমতে: x - y = 26 ------ (1)
দ্বিতীয় চৰ্তমতে: x = 3y ------ (2)

(2) ৰ পৰা x ৰ মান (1) ত বহুৱাই পাওঁ:
3y - y = 26 ⇒ 2y = 26 ⇒ y = 13

y = 13 ৰ মান (2) ত বহুৱাই পাওঁ: x = 3 × 13 = 39
উত্তৰ: নিৰ্ণেয় সংখ্যা দুটা হ'ল 39 আৰু 13।

---

(ii) দুটা সম্পূৰক (supplementary) কোণৰ ডাঙৰটো সৰুটোতকৈ 18 ডিগ্ৰী বেছি। কোণ দুটা নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান:
ধৰো, ডাঙৰ কোণটো = x° আৰু সৰু কোণটো = y°
যিহেতু কোণ দুটা সম্পূৰক, ∴ x + y = 180° ------ (1)
প্ৰশ্নমতে: x = y + 18° ------ (2)

x ৰ মান (1) ত বহুৱাই পাওঁ:
(y + 18°) + y = 180°
⇒ 2y = 180° - 18°
⇒ 2y = 162° ⇒ y = 81°

y = 81° ৰ মান (2) ত বহুৱাই পাওঁ: x = 81° + 18° = 99°
উত্তৰ: কোণ দুটা হ'ল 99° আৰু 81°।

---

(iii) এটা ক্ৰিকেট দলৰ প্ৰশিক্ষকজনে 7 খন বেট আৰু 6 টা বল কিনে 3800 টকাত। পিছত তেওঁ 3 খন বেট আৰু 5 টা বল কিনে 1750 টকাত। প্ৰতিখন বেট আৰু প্ৰতিটো বলৰ দাম উলিওৱা।
সমাধান:
ধৰো, ১ খন বেটৰ দাম = x টকা আৰু ১ টা বলৰ দাম = y টকা
প্ৰথম চৰ্তমতে: 7x + 6y = 3800 ------ (1)
দ্বিতীয় চৰ্তমতে: 3x + 5y = 1750 ------ (2)

সমীকৰণ (2) ৰ পৰা: x = (1750 - 5y) / 3 ------ (3)

x ৰ মান (1) ত বহুৱাই পাওঁ:
7[(1750 - 5y) / 3] + 6y = 3800
⇒ 12250 - 35y + 18y = 11400
⇒ -17y = 11400 - 12250
⇒ -17y = -850 ⇒ y = 50

y = 50 ৰ মান (3) ত বহুৱাই পাওঁ: x = (1750 - 5×50)/3 = (1750 - 250)/3 = 1500/3 = 500
উত্তৰ: প্ৰতিখন বেটৰ দাম = 500 টকা আৰু প্ৰতিটো বলৰ দাম = 50 টকা।

---

(iv) এখন চহৰৰ টেক্সি ভাড়াত এটা নিৰ্দিষ্ট ভাড়াৰ লগত অতিক্ৰম কৰা দূৰত্বৰ ভাড়াটো লগলাগি থাকে। 10 কি.মি. দূৰত্বৰ বাবে দিবলগীয়া ভাড়া 105 টকা আৰু 15 কি.মি. ভ্ৰমণৰ বাবে 155 টকা। নিৰ্দিষ্ট আৰু প্ৰতি কি.মি. ভাড়া কিমান? 25 কি.মি. ভ্ৰমণৰ বাবে কিমান ভাড়া দিব লাগিব?
সমাধান:
ধৰো, নিৰ্দিষ্ট ভাড়া = x টকা আৰু প্ৰতি কি.মি. ভাড়া = y টকা
10 কি.মি. ৰ বাবে: x + 10y = 105 ------ (1)
15 কি.মি. ৰ বাবে: x + 15y = 155 ------ (2)

সমীকৰণ (1) ৰ পৰা: x = 105 - 10y ------ (3)

x ৰ মান (2) ত বহুৱাই পাওঁ:
(105 - 10y) + 15y = 155
⇒ 5y = 155 - 105 ⇒ 5y = 50 ⇒ y = 10

y = 10 ৰ মান (3) ত বহুৱাই পাওঁ: x = 105 - 10(10) = 5

∴ 25 কি.মি. ভ্ৰমণৰ বাবে ভাড়া = x + 25y = 5 + 25(10) = 5 + 250 = 255 টকা।
উত্তৰ: নিৰ্দিষ্ট ভাড়া = 5 টকা, প্ৰতি কি.মি. ভাড়া = 10 টকা আৰু 25 কি.মি. ৰ মুঠ ভাড়া = 255 টকা।

---

(v) এটা ভগ্নাংশত যদি লব আৰু হৰ উভয়তে 2 যোগ কৰা হয় তেন্তে ভগ্নাংশটো হয় 9/11। যদি লব আৰু হৰ উভয়তে 3 যোগ কৰা হয়, তেন্তে ভগ্নাংশটো হয় 5/6। ভগ্নাংশটো উলিওৱা।
সমাধান:
ধৰো, ভগ্নাংশটোৰ লব = x আৰু হৰ = y (অতএব ভগ্নাংশটো = x/y)
প্ৰথম চৰ্তমতে: (x + 2) / (y + 2) = 9/11
⇒ 11x + 22 = 9y + 18 ⇒ 11x - 9y = -4 ------ (1)

দ্বিতীয় চৰ্তমতে: (x + 3) / (y + 3) = 5/6
⇒ 6x + 18 = 5y + 15 ⇒ 6x - 5y = -3 ------ (2)

সমীকৰণ (2) ৰ পৰা: x = (5y - 3) / 6 ------ (3)

x ৰ মান (1) ত বহুৱাই পাওঁ:
11[(5y - 3) / 6] - 9y = -4
⇒ 55y - 33 - 54y = -24
⇒ y = -24 + 33 ⇒ y = 9

y = 9 ৰ মান (3) ত বহুৱাই পাওঁ: x = (5×9 - 3)/6 = (45 - 3)/6 = 42/6 = 7
উত্তৰ: নিৰ্ণেয় ভগ্নাংশটো হ'ল 7/9।

---

(vi) আজিৰ পৰা পাঁচ বছৰ পিছত জেকবৰ বয়স তেওঁৰ পুত্ৰতকৈ তিনিগুণ হ'ব। পাঁচ বছৰ আগতে জেকবৰ বয়স তেওঁৰ পুত্ৰতকৈ সাতগুণ আছিল। তেওঁলোকৰ বৰ্তমান বয়স কিমান?
সমাধান:
ধৰো, জেকবৰ বৰ্তমান বয়স = x বছৰ আৰু পুত্ৰৰ বৰ্তমান বয়স = y বছৰ

5 বছৰ পিছত: জেকবৰ বয়স = x + 5, পুত্ৰৰ বয়স = y + 5
প্ৰশ্নমতে: x + 5 = 3(y + 5) ⇒ x + 5 = 3y + 15 ⇒ x - 3y = 10 ------ (1)

5 বছৰ আগতে: জেকবৰ বয়স = x - 5, পুত্ৰৰ বয়স = y - 5
প্ৰশ্নমতে: x - 5 = 7(y - 5) ⇒ x - 5 = 7y - 35 ⇒ x - 7y = -30 ------ (2)

সমীকৰণ (1) ৰ পৰা: x = 10 + 3y ------ (3)

x ৰ মান (2) ত বহুৱাই পাওঁ:
(10 + 3y) - 7y = -30
⇒ -4y = -30 - 10 ⇒ -4y = -40 ⇒ y = 10

y = 10 ৰ মান (3) ত বহুৱাই পাওঁ: x = 10 + 3(10) = 40
উত্তৰ: জেকবৰ বৰ্তমান বয়স = 40 বছৰ আৰু পুত্ৰৰ বৰ্তমান বয়স = 10 বছৰ।

প্ৰশ্ন ৪ - ৮: বহুবিকল্পভিত্তিক (MCQs) আৰু অতিৰিক্ত প্ৰশ্নোত্তৰ:

প্ৰশ্ন ৪: যদি x + 3, x³ + ax² - bx + 6 ৰ এটা উৎপাদক হয় আৰু a + b = 7, তেন্তে a আৰু b ৰ মান উলিওৱা।
সমাধান:
যিহেতু x + 3 উৎপাদক, ∴ p(-3) = 0
⇒ (-3)³ + a(-3)² - b(-3) + 6 = 0
⇒ -27 + 9a + 3b + 6 = 0
⇒ 9a + 3b = 21 ⇒ 3a + b = 7 ------ (1)
দিয়া আছে: a + b = 7 ------ (2)
(1) ৰ পৰা (2) বিয়োগ কৰি পাওঁ: 2a = 0 ⇒ a = 0
a = 0 (2) ত বহুৱাই পাওঁ: b = 7
উত্তৰ: a = 0 আৰু b = 7

---

প্ৰশ্ন ৫: 2x = y আৰু -5x + 2y - 3 = 0 ৰ বাবে বিকল্পসমূহ:
(i) লেখ দুটাই এটা বিন্দুত কটাকটি কৰে।
(ii) লেখ দুটা পৰস্পৰ সমান্তৰাল।
(iii) লেখ দুটা মিলি যায়।
(iv) সমীকৰণ দুটাৰ এটা অদ্বিতীয় সমাধান আছে।
সমাধান: a₁/a₂ = 2/-5, b₁/b₂ = -1/2 (যিহেতু a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, গতিকে ১ টা বিন্দুত কাটিব আৰু অদ্বিতীয় সমাধান থাকিব)।
উত্তৰ: (d) (i) আৰু (iv) দুয়োটা শুদ্ধ

---

প্ৰশ্ন ৬: স্তম্ভ A আৰু স্তম্ভ B মিলোৱা:
• A. x - y = 0 → (ii) দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণ
• B. 2x - 3y = 5 আৰু x - y = 1 → (i) অদ্বিতীয় সমাধান আছে
• C. x + 2y = 6 আৰু 4x + 8y = 24 → (iv) অসীম সংখ্যক সমাধান আছে
• D. 2x + 3y = 6 আৰু 4x + 6y = 10 → (iii) কোনো সমাধান নাই
উত্তৰ: (a) A→(ii), B→(i), C→(iv), D→(iii)

---

প্ৰশ্ন ৭: (x, 4) বিন্দুটোৱে 3x + y = 19 সমীকৰণটোক সিদ্ধ কৰিলে x ৰ মান হ'ব—
(a) 6 | (b) 5 | (c) 3 | (d) 4
সমাধান: 3x + 4 = 19 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5
উত্তৰ: (b) 5

---

প্ৰশ্ন ৮: 2x + 4y = 10 আৰু Kx + 8y = 20 ৰ অসীম সমাধান থাকিবলৈ K ৰ মান—
(a) 4 | (b) 3 | (c) 2 | (d) 1
সমাধান: 2/K = 4/8 ⇒ 2/K = 1/2 ⇒ K = 4
উত্তৰ: (a) 4

Q1. প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতি (Substitution Method) কি?

Ans: এটা সমীকৰণৰ পৰা এটা চলকৰ (x বা y) মান আনটো চলকৰ পদত প্ৰকাশ কৰি দ্বিতীয় সমীকৰণত প্ৰতিষ্ঠা (বহুৱাই) কৰাৰ পদ্ধতিকে প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতি বোলে।