Class 10 Maths Chapter 5 Exercise 5.1 Solutions in Assamese | SEBA Class 10 Maths New Book
| সমান্তৰ প্ৰগতি সমাধান — SEBA Class 10 (New Book) | |
|---|---|
| বিষয় (Subject) | গণিত (Mathematics) |
| কিতাপখনৰ নাম | সাধাৰণ গণিত (SEBA Class 10) |
| পাঠৰ নাম | সমান্তৰ প্ৰগতি (Arithmetic Progressions) |
| অধ্যায় (Chapter) | অধ্যায় ৫ (Chapter 5) |
| অনুশীলনী (Exercise) | 5.1 |
অধ্যায় ৫ : সমান্তৰ প্ৰগতি — অনুশীলনী 5.1 (Exercise 5.1 Solutions)
১. তলৰ পৰিস্থিতিবিলাকৰ লগত জড়িত সংখ্যাৰ তালিকাবিলাকৰ কোনবিলাকে সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰিব আৰু কিয় কৰিব?
(i) প্রথম কিলোমিটাৰত টেক্সি ভাড়া 15 টকা আৰু তাৰ পিছৰ প্ৰতি অতিৰিক্ত কিলোমিটাৰত 8 টকাকৈ হ'লে প্রতি কিলোমিটাৰৰ অন্তত টেক্সিৰ ভাড়া।
দিয়া আছে,
প্ৰথম কিলোমিটাৰৰ ভাৰা (a1) = 15 টকা
দ্বিতীয় কিলোমিটাৰলৈ ভাৰা (a2) = 15 + 8 = 23 টকা
তৃতীয় কিলোমিটাৰলৈ ভাৰা (a3) = 23 + 8 = 31 টকা
ইয়াত, a2 - a1 = 23 - 15 = 8
আৰু a3 - a2 = 31 - 23 = 8
যিহেতু প্ৰতিবাৰতে সাধাৰণ অন্তৰ (8 টকা) একেই আছে, গতিকে ই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে।
উত্তৰ: হয়, ই সমান্তৰ প্ৰগতি।
(ii) এটা গেছ চিলিণ্ডাৰৰ পৰা ভেকুৱাম পাম্প এটাই এবাৰত চিলিণ্ডাৰত থকা বায়ুৰ 1/4 অংশ নিষ্কাশন কৰিলে সেই চিলিণ্ডাৰটোত প্ৰতিবাৰ নিষ্কাশনৰ পিছত ৰৈ যোৱা বায়ুৰ পৰিমাণ।
ধৰাহ'ল, প্ৰথমতে বেলনটোত থকা বায়ুৰ পৰিমাণ (a1) = x
প্ৰথমবাৰ পাম্প কৰাৰ পিছত বাকী থকা বায়ু (a2) = x - (x × 1/4) = 3x/4
দ্বিতীয়বাৰ পাম্প কৰাৰ পিছত বাকী থকা বায়ু (a3) = 3x/4 - (3x/4 × 1/4) = 3x/4 - 3x/16 = 9x/16
এতিয়া, a2 - a1 = (3x/4) - x = -x/4
আৰু, a3 - a2 = (9x/16) - (3x/4) = -3x/16
যিহেতু a2 - a1 ≠ a3 - a2, গতিকে ই সমান্তৰ প্ৰগতি নহয়।
উত্তৰ: নহয়, ই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন নকৰে।
(iii) এটা কুঁৱা খান্দোতে প্ৰথম মিটাৰৰ খৰচ 150 টকা আৰু তাৰ পিছৰ প্ৰতিমিটাৰত 50 টকাকৈ লাগিলে প্রতি মিটাৰ খন্দাৰ পিছত কুঁৱা খন্দাৰ খৰচ।
দিয়া আছে,
প্ৰথম মিটাৰৰ খৰচ (a1) = 150 টকা
দ্বিতীয় মিটাৰলৈ খৰচ (a2) = 150 + 50 = 200 টকা
তৃতীয় মিটাৰলৈ খৰচ (a3) = 200 + 50 = 250 টকা
ইয়াত, a2 - a1 = 200 - 150 = 50
আৰু, a3 - a2 = 250 - 200 = 50
যিহেতু সাধাৰণ অন্তৰ একেই আছে, সেয়েহে ই সমান্তৰ প্ৰগতি।
উত্তৰ: হয়, ই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে।
(iv) 10000 টকা বছৰি 8% মিশ্র সুতৰ (compound interest) হাৰত জমা কৰিলে সেই একাউণ্টত প্ৰতি বছৰে থাকিব লগা ধনৰ পৰিমাণ।
প্ৰথম বছৰৰ আৰম্ভণিতে ধন (a1) = 10000 টকা
প্ৰথম বছৰৰ শেষত ধন (a2) = 10000 + (10000 × 8/100) = 10800 টকা
দ্বিতীয় বছৰৰ শেষত ধন (a3) = 10800 + (10800 × 8/100) = 11664 টকা
ইয়াত, a2 - a1 = 10800 - 10000 = 800
আৰু, a3 - a2 = 11664 - 10800 = 864
যিহেতু সাধাৰণ অন্তৰ একে নহয়, ই সমান্তৰ প্ৰগতি নহয়।
উত্তৰ: নহয়, ই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন নকৰে।
২. যদি প্রথম পদ a আৰু সাধাৰণ অন্তৰ d তলত দিয়া ধৰণৰ, তেন্তে প্রতিটো APৰে প্ৰথম চাৰিটা পদ লিখাঃ
(i) a = 10, d = 10
প্ৰথম পদ (a1) = a = 10
দ্বিতীয় পদ (a2) = a + d = 10 + 10 = 20
তৃতীয় পদ (a3) = a2 + d = 20 + 10 = 30
চতুৰ্থ পদ (a4) = a3 + d = 30 + 10 = 40
উত্তৰ: 10, 20, 30, 40
(ii) a = -2, d = 0
প্ৰথম পদ (a1) = a = -2
দ্বিতীয় পদ (a2) = -2 + 0 = -2
তৃতীয় পদ (a3) = -2 + 0 = -2
চতুৰ্থ পদ (a4) = -2 + 0 = -2
উত্তৰ: -2, -2, -2, -2
(iii) a = 4, d = -3
প্ৰথম পদ (a1) = 4
দ্বিতীয় পদ (a2) = 4 + (-3) = 1
তৃতীয় পদ (a3) = 1 + (-3) = -2
চতুৰ্থ পদ (a4) = -2 + (-3) = -5
উত্তৰ: 4, 1, -2, -5
(iv) a = -1, d = 1/2
প্ৰথম পদ (a1) = -1
দ্বিতীয় পদ (a2) = -1 + 1/2 = -1/2
তৃতীয় পদ (a3) = -1/2 + 1/2 = 0
চতুৰ্থ পদ (a4) = 0 + 1/2 = 1/2
উত্তৰ: -1, -1/2, 0, 1/2
(v) a = -1.25, d = -0.25
প্ৰথম পদ (a1) = -1.25
দ্বিতীয় পদ (a2) = -1.25 + (-0.25) = -1.50
তৃতীয় পদ (a3) = -1.50 + (-0.25) = -1.75
চতুৰ্থ পদ (a4) = -1.75 + (-0.25) = -2.00
উত্তৰ: -1.25, -1.50, -1.75, -2.00
৩. তলত দিয়া সমান্তৰ প্ৰগতিসমূহৰ প্ৰথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ নিৰ্ণয় কৰা:
(i) 3, 1, -1, -3, ...
প্ৰথম পদ (a) = 3
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = a2 - a1 = 1 - 3 = -2
উত্তৰ: a = 3, d = -2
(ii) -5, -1, 3, 7, ...
প্ৰথম পদ (a) = -5
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = a2 - a1 = -1 - (-5) = -1 + 5 = 4
উত্তৰ: a = -5, d = 4
(iii) 1/3, 5/3, 9/3, 13/3, ...
প্ৰথম পদ (a) = 1/3
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = a2 - a1 = 5/3 - 1/3 = 4/3
উত্তৰ: a = 1/3, d = 4/3
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, ...
প্ৰথম পদ (a) = 0.6
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = a2 - a1 = 1.7 - 0.6 = 1.1
উত্তৰ: a = 0.6, d = 1.1
৪. তলৰ কোনবোৰ সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে? যিবিলাকে সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰিছে তাৰ প্ৰতিটোৰে সাধাৰণ অন্তৰ d নিৰ্ণয় কৰা আৰু পৰৱৰ্তী তিনিটাকৈ পদ নিৰ্ণয় কৰা।
(i) 2, 4, 8, 16, ...
a2 - a1 = 4 - 2 = 2
a3 - a2 = 8 - 4 = 4
যিহেতু a2 - a1 ≠ a3 - a2, ই সমান্তৰ প্ৰগতি নহয়।
উত্তৰ: সমান্তৰ প্ৰগতি নহয়।
(ii) 5/2, 7/2, ...
a2 - a1 = 5/2 - 2 = (5-4)/2 = 1/2
a3 - a2 = 3 - 5/2 = (6-5)/2 = 1/2
যিহেতু পাৰ্থক্য একে (1/2), ই সমান্তৰ প্ৰগতি। ইয়াত d = 1/2।
পিছৰ তিনিটা পদ:
a5 = 7/2 + 1/2 = 8/2 = 4
a6 = 4 + 1/2 = 9/2
a7 = 9/2 + 1/2 = 10/2 = 5
উত্তৰ: হয়। d = 1/2, পিছৰ পদসমূহ: 4, 9/2, 5
(v) 3, 3+√2, 3+2√2, 3+3√2, ...
a2 - a1 = (3+√2) - 3 = √2
a3 - a2 = (3+2√2) - (3+√2) = √2
যিহেতু পাৰ্থক্য একে, ই সমান্তৰ প্ৰগতি। ইয়াত d = √2।
পিছৰ তিনিটা পদ:
a5 = 3+3√2 + √2 = 3+4√2
a6 = 3+4√2 + √2 = 3+5√2
a7 = 3+5√2 + √2 = 3+6√2
উত্তৰ: হয়। d = √2, পিছৰ পদসমূহ: 3+4√2, 3+5√2, 3+6√2
📌 SEBA Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (সমান্তৰ প্ৰগতি) — চমু সাৰাংশ
ছেবা (SEBA) Class 10 Mathematics ৰ পঞ্চম অধ্যায় 'সমান্তৰ প্ৰগতি' (Arithmetic Progressions চমুকৈ A.P.) ৰ অনুশীলনী 5.1 ত প্ৰধানকৈ সমান্তৰ প্ৰগতি কি আৰু ইয়াক কেনেকৈ চিনাক্ত কৰিব পাৰি, তাৰ ওপৰত গুৰুত্ব দিয়া হৈছে।
🔑 এই অনুশীলনীৰ মুখ্য ধাৰণাসমূহ (Key Concepts):
- সমান্তৰ প্ৰগতি (A.P.): ই হৈছে সংখ্যাৰ এনে এখন তালিকা য'ত প্ৰথম পদটোৰ বাহিৰে প্ৰতিটো পদ তাৰ আগৰ পদটোৰ লগত এটা নিৰ্দিষ্ট সংখ্যা যোগ কৰি পোৱা যায়।
- সাধাৰণ অন্তৰ (Common Difference, d): ক্ৰমিক পদ দুটাৰ মাজৰ পাৰ্থক্যটোকে সাধাৰণ অন্তৰ বোলে। ই ধণাত্মক (+), ঋণাত্মক (-) বা শূন্য (0) হ'ব পাৰে।
- সাধাৰণ আৰ্হি: এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ সাধাৰণ আৰ্হিটো হ'ল: a, a+d, a+2d, a+3d, ...
❓ প্ৰায়েই সোধা প্ৰশ্নসমূহ (Frequently Asked Questions - FAQs)
Q1. সাধাৰণ অন্তৰ (d) কেনেকৈ নিৰ্ণয় কৰা হয়?
উত্তৰ: যিকোনো এটা পদৰ পৰা তাৰ ঠিক আগৰ পদটো বিয়োগ কৰি সাধাৰণ অন্তৰ নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি। সূত্ৰ অনুসৰি, d = a2 - a1 বা d = a3 - a2।
Q2. সাধাৰণ অন্তৰ শূন্য (0) হ'ব পাৰেনে?
উত্তৰ: হয়, সাধাৰণ অন্তৰ শূন্য হ'ব পাৰে। তেনে অৱস্থাত সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ প্ৰতিটো পদ একেই থাকে (যেনে: 5, 5, 5, 5...)।