Class 10 Maths Chapter 5 Exercise 5.3 Solutions in Assamese | SEBA Class 10 Maths New Book

💡 প্ৰয়োজনীয় সূত্ৰসমূহ:
১. n-তম পদ: a_n = a + (n - 1)d
২. প্ৰথম n টা পদৰ যোগফল: S_n = (n / 2)[2a + (n - 1)d]
৩. যোগফলৰ অন্য ৰূপ: S_n = (n / 2)(a + l), য'ত l = অন্তিম পদ

প্ৰশ্ন ১: তলৰ সমান্তৰ প্ৰগতিসমূহৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা :

(i) 2, 7, 12, ... (10 টা পদলৈ)
সমাধান:
দিয়া আছে,
প্ৰথম পদ (a) = 2
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = 7 - 2 = 5
পদৰ সংখ্যা (n) = 10

আমি জানো যে, S_n = (n / 2)[2a + (n - 1)d]
এতিয়া মানসমূহ বহুৱাই পাওঁ,
S₁₀ = (10 / 2) [2(2) + (10 - 1)5]
⇒ S₁₀ = 5 [4 + 9 × 5]
⇒ S₁₀ = 5 [4 + 45]
⇒ S₁₀ = 5 × 49
⇒ S₁₀ = 245
গতিকে, প্ৰথম 10 টা পদৰ যোগফল = 245।

---

(ii) -37, -33, -29, ... (12 টা পদলৈ)
সমাধান:
দিয়া আছে,
প্ৰথম পদ (a) = -37
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = -33 - (-37) = -33 + 37 = 4
পদৰ সংখ্যা (n) = 12

আমি জানো যে, S_n = (n / 2)[2a + (n - 1)d]
মানসমূহ বহুৱাই পাওঁ,
S₁₂ = (12 / 2) [2(-37) + (12 - 1)4]
⇒ S₁₂ = 6 [-74 + 11 × 4]
⇒ S₁₂ = 6 [-74 + 44]
⇒ S₁₂ = 6 × (-30)
⇒ S₁₂ = -180
গতিকে, প্ৰথম 12 টা পদৰ যোগফল = -180।

---

(iii) 0.6, 1.7, 2.8, ... (100 টা পদলৈ)
সমাধান:
দিয়া আছে,
a = 0.6
d = 1.7 - 0.6 = 1.1
n = 100

সূত্ৰমতে, S_n = (n / 2)[2a + (n - 1)d]
⇒ S₁₀₀ = (100 / 2) [2(0.6) + (100 - 1)(1.1)]
⇒ S₁₀₀ = 50 [1.2 + 99 × 1.1]
⇒ S₁₀₀ = 50 [1.2 + 108.9]
⇒ S₁₀₀ = 50 × 110.1
⇒ S₁₀₀ = 5505
গতিকে, প্ৰথম 100 টা পদৰ যোগফল = 5505।

---

(iv) 1/15, 1/12, 1/10, ... (11 টা পদলৈ)
সমাধান:
দিয়া আছে,
a = 1/15
d = 1/12 - 1/15
   = (5 - 4) / 60 (যিহেতু 12 আৰু 15 ৰ ল.সা.গু. 60)
   = 1/60
n = 11

সূত্ৰমতে, S_n = (n / 2)[2a + (n - 1)d]
⇒ S₁₁ = (11 / 2) [2(1/15) + (11 - 1)(1/60)]
⇒ S₁₁ = (11 / 2) [2/15 + 10(1/60)]
⇒ S₁₁ = (11 / 2) [2/15 + 1/6]
(15 আৰু 6 ৰ ল.সা.গু. = 30)
⇒ S₁₁ = (11 / 2) [(4 + 5) / 30]
⇒ S₁₁ = (11 / 2) × (9 / 30)
⇒ S₁₁ = (11 / 2) × (3 / 10)
⇒ S₁₁ = 33 / 20
গতিকে, যোগফল = 33/20।

প্ৰশ্ন ২: তলৰ যোগফলবিলাক নিৰ্ণয় কৰা :

(i) 7 + 10(1/2) + 14 + ... + 84
সমাধান:
দিয়া আছে, সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ
প্ৰথম পদ (a) = 7
দ্বিতীয় পদ = 10(1/2) = 21/2
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = 21/2 - 7 = (21 - 14) / 2 = 7/2
অন্তিম পদ (a_n বা l) = 84

প্ৰথমে আমি পদৰ সংখ্যা (n) উলিয়াব লাগিব।
আমি জানো যে, a_n = a + (n - 1)d
⇒ 84 = 7 + (n - 1)(7/2)
⇒ 84 - 7 = (n - 1)(7/2)
⇒ 77 = (n - 1)(7/2)
⇒ (n - 1) = (77 × 2) / 7
⇒ n - 1 = 11 × 2
⇒ n - 1 = 22
⇒ n = 23

এতিয়া যোগফল নিৰ্ণয় কৰোঁ,
S_n = (n / 2)(a + l)
⇒ S₂₃ = (23 / 2)(7 + 84)
⇒ S₂₃ = (23 / 2) × 91
⇒ S₂₃ = 2093 / 2
⇒ S₂₃ = 1046(1/2)
গতিকে, নিৰ্ণেয় যোগফল = 1046(1/2)।

---

(ii) 34 + 32 + 30 + ... + 10
সমাধান:
দিয়া আছে,
a = 34
d = 32 - 34 = -2
l (বা a_n) = 10

প্ৰথমে n নিৰ্ণয় কৰোঁ,
a_n = a + (n - 1)d
⇒ 10 = 34 + (n - 1)(-2)
⇒ 10 - 34 = (n - 1)(-2)
⇒ -24 = (n - 1)(-2)
⇒ n - 1 = (-24) / (-2)
⇒ n - 1 = 12
⇒ n = 13

এতিয়া যোগফল,
S_n = (n / 2)(a + l)
⇒ S₁₃ = (13 / 2)(34 + 10)
⇒ S₁₃ = (13 / 2) × 44
⇒ S₁₃ = 13 × 22
⇒ S₁₃ = 286
গতিকে, নিৰ্ণেয় যোগফল = 286।

---

(iii) -5 + (-8) + (-11) + ... + (-230)
সমাধান:
দিয়া আছে,
a = -5
d = -8 - (-5) = -8 + 5 = -3
l = -230

প্ৰথমে n নিৰ্ণয় কৰোঁ,
a_n = a + (n - 1)d
⇒ -230 = -5 + (n - 1)(-3)
⇒ -230 + 5 = (n - 1)(-3)
⇒ -225 = (n - 1)(-3)
⇒ n - 1 = (-225) / (-3)
⇒ n - 1 = 75
⇒ n = 76

এতিয়া যোগফল,
S_n = (n / 2)(a + l)
⇒ S₇₆ = (76 / 2)[-5 + (-230)]
⇒ S₇₆ = 38 × (-235)
⇒ S₇₆ = -8930
গতিকে, নিৰ্ণেয় যোগফল = -8930।

প্ৰশ্ন ৩: এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ :

(i) দিয়া আছে a = 5, d = 3, a_n = 50; n আৰু S_n উলিওৱা ।
সমাধান:
আমি জানো যে, a_n = a + (n - 1)d
মানসমূহ বহুৱাই পাওঁ,
⇒ 50 = 5 + (n - 1)3
⇒ 50 - 5 = 3(n - 1)
⇒ 45 = 3(n - 1)
⇒ n - 1 = 15
⇒ n = 16

এতিয়া S_n নিৰ্ণয় কৰোঁ,
S_n = (n / 2)(a + a_n)
⇒ S₁₆ = (16 / 2)(5 + 50)
⇒ S₁₆ = 8 × 55
⇒ S₁₆ = 440
উত্তৰ: n = 16 আৰু S_n = 440

---

(ii) দিয়া আছে a = 7, a₁₃ = 35; d আৰু S₁₃ উলিওৱা ।
সমাধান:
আমি জানো যে, a₁₃ = a + 12d
⇒ 35 = 7 + 12d
⇒ 12d = 35 - 7
⇒ 12d = 28
⇒ d = 28 / 12
⇒ d = 7/3

এতিয়া S₁₃ নিৰ্ণয় কৰোঁ,
S₁₃ = (13 / 2)(a + a₁₃)
⇒ S₁₃ = (13 / 2)(7 + 35)
⇒ S₁₃ = (13 / 2) × 42
⇒ S₁₃ = 13 × 21
⇒ S₁₃ = 273
উত্তৰ: d = 7/3 আৰু S₁₃ = 273

---

(iii) দিয়া আছে a₁₂ = 37, d = 3; a আৰু S₁₂ উলিওৱা ।
সমাধান:
আমি জানো যে, a₁₂ = a + 11d
⇒ 37 = a + 11(3)
⇒ 37 = a + 33
⇒ a = 37 - 33
⇒ a = 4

এতিয়া S₁₂ নিৰ্ণয় কৰোঁ,
S₁₂ = (12 / 2)(a + a₁₂)
⇒ S₁₂ = 6 × (4 + 37)
⇒ S₁₂ = 6 × 41
⇒ S₁₂ = 246
উত্তৰ: a = 4 আৰু S₁₂ = 246

---

(iv) দিয়া আছে a₃ = 15, S₁₀ = 125; d আৰু a₁₀ উলিওৱা ।
সমাধান:
a₃ = 15
⇒ a + 2d = 15 -------- (সমীকৰণ ১)

আকৌ, S₁₀ = 125
⇒ (10 / 2)[2a + (10 - 1)d] = 125
⇒ 5[2a + 9d] = 125
⇒ 2a + 9d = 25 -------- (সমীকৰণ ২)

সমীকৰণ (১) ক 2 ৰে পূৰণ কৰিলে পাওঁ:
2a + 4d = 30 -------- (সমীকৰণ ৩)

সমীকৰণ (২) ৰ পৰা (৩) বিয়োগ কৰি পাওঁ:
(2a + 9d) - (2a + 4d) = 25 - 30
⇒ 5d = -5
⇒ d = -1

d ৰ মান সমীকৰণ (১) ত বহুৱাই পাওঁ:
a + 2(-1) = 15
⇒ a - 2 = 15
⇒ a = 17

এতিয়া a₁₀ নিৰ্ণয় কৰোঁ:
a₁₀ = a + 9d
⇒ a₁₀ = 17 + 9(-1)
⇒ a₁₀ = 17 - 9
⇒ a₁₀ = 8
উত্তৰ: d = -1 আৰু a₁₀ = 8

---

(v) দিয়া আছে d = 5, S₉ = 75; a আৰু a₉ উলিওৱা ।
সমাধান:
আমি জানো যে, S_n = (n / 2)[2a + (n - 1)d]
⇒ S₉ = (9 / 2)[2a + (9 - 1)5]
⇒ 75 = (9 / 2)[2a + 8 × 5]
⇒ 75 = (9 / 2)[2a + 40]
⇒ 75 × 2 = 9[2a + 40]
⇒ 150 = 18a + 360
⇒ 18a = 150 - 360
⇒ 18a = -210
⇒ a = -210 / 18
⇒ a = -35 / 3

এতিয়া a₉ নিৰ্ণয় কৰোঁ:
a₉ = a + 8d
⇒ a₉ = (-35 / 3) + 8(5)
⇒ a₉ = -35/3 + 40
⇒ a₉ = (-35 + 120) / 3
⇒ a₉ = 85 / 3
উত্তৰ: a = -35/3 আৰু a₉ = 85/3

---

(vi) দিয়া আছে a = 2, d = 8, S_n = 90; n আৰু a_n উলিওৱা ।
সমাধান:
আমি জানো যে, S_n = (n / 2)[2a + (n - 1)d]
⇒ 90 = (n / 2)[2(2) + (n - 1)8]
⇒ 180 = n[4 + 8n - 8]
⇒ 180 = n[8n - 4]
⇒ 180 = 8n² - 4n
⇒ 8n² - 4n - 180 = 0
সমগ্ৰ সমীকৰণক 4 ৰে হৰণ কৰি পাওঁ:
⇒ 2n² - n - 45 = 0
মধ্যপদ বিভাজন কৰি:
⇒ 2n² - 10n + 9n - 45 = 0
⇒ 2n(n - 5) + 9(n - 5) = 0
⇒ (n - 5)(2n + 9) = 0
গতিকে, হয় n = 5 অথবা n = -9/2
যিহেতু পদৰ সংখ্যা (n) কেতিয়াও ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হ'ব নোৱাৰে, গতিকে n = 5।

এতিয়া a_n নিৰ্ণয় কৰোঁ:
a₅ = a + 4d
⇒ a₅ = 2 + 4(8)
⇒ a₅ = 2 + 32
⇒ a₅ = 34
উত্তৰ: n = 5 আৰু a_n = 34

---

(vii) দিয়া আছে a = 8, a_n = 62, S_n = 210; n আৰু d উলিওৱা ।
সমাধান:
আমি জানো যে, S_n = (n / 2)(a + a_n)
⇒ 210 = (n / 2)(8 + 62)
⇒ 210 = (n / 2) × 70
⇒ 210 = 35n
⇒ n = 210 / 35
⇒ n = 6

এতিয়া d নিৰ্ণয় কৰোঁ:
a_n = a + (n - 1)d
⇒ 62 = 8 + (6 - 1)d
⇒ 62 - 8 = 5d
⇒ 54 = 5d
⇒ d = 54 / 5
উত্তৰ: n = 6 আৰু d = 54/5

---

(viii) দিয়া আছে a_n = 4, d = 2, S_n = -14; n আৰু a উলিওৱা ।
সমাধান:
a_n = a + (n - 1)d = 4
⇒ a + (n - 1)2 = 4
⇒ a + 2n - 2 = 4
⇒ a = 6 - 2n -------- (সমীকৰণ ১)

আকৌ, S_n = -14
⇒ (n / 2)(a + a_n) = -14
⇒ (n / 2)(a + 4) = -14
⇒ n(a + 4) = -28
সমীকৰণ (১) ৰ পৰা a ৰ মান বহুৱাই পাওঁ:
⇒ n(6 - 2n + 4) = -28
⇒ n(10 - 2n) = -28
⇒ 10n - 2n² = -28
⇒ 2n² - 10n - 28 = 0
সমগ্ৰ সমীকৰণক 2 ৰে হৰণ কৰিলে:
⇒ n² - 5n - 14 = 0
⇒ n² - 7n + 2n - 14 = 0
⇒ n(n - 7) + 2(n - 7) = 0
⇒ (n - 7)(n + 2) = 0
গতিকে, হয় n = 7 অথবা n = -2
যিহেতু n ঋণাত্মক হ'ব নোৱাৰে, গতিকে n = 7।

এতিয়া a নিৰ্ণয় কৰোঁ (সমীকৰণ ১ ত মান বহুৱাই):
a = 6 - 2(7) = 6 - 14 = -8
উত্তৰ: n = 7 আৰু a = -8

---

(ix) দিয়া আছে a = 3, n = 8, S = 192; d উলিওৱা ।
সমাধান:
আমি জানো যে, S_n = (n / 2)[2a + (n - 1)d]
⇒ 192 = (8 / 2)[2(3) + (8 - 1)d]
⇒ 192 = 4[6 + 7d]
⇒ 192 / 4 = 6 + 7d
⇒ 48 = 6 + 7d
⇒ 7d = 48 - 6
⇒ 7d = 42
⇒ d = 6
উত্তৰ: d = 6

---

(x) দিয়া আছে l = 28, S = 144, আৰু মুঠ পদৰ সংখ্যা 9; a উলিওৱা ।
সমাধান:
ইয়াত, অন্তিম পদ (l) = 28
মুঠ পদৰ যোগফল (S) = 144
পদৰ সংখ্যা (n) = 9

আমি জানো যে, S = (n / 2)(a + l)
⇒ 144 = (9 / 2)(a + 28)
⇒ 144 × 2 = 9(a + 28)
⇒ 288 = 9a + 252
⇒ 9a = 288 - 252
⇒ 9a = 36
⇒ a = 36 / 9
⇒ a = 4
উত্তৰ: a = 4

প্ৰশ্ন ৪ - ১০: গাণিতিক সমস্যাসমূহ:

প্ৰশ্ন ৪: 9, 17, 25, .... এই সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ কিমানটা পদৰ যোগফল 636 হ'ব?
সমাধান:
দিয়া আছে,
প্ৰথম পদ (a) = 9
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = 17 - 9 = 8
ধৰো, n টা পদৰ যোগফল S_n = 636

আমি জানো যে, S_n = (n / 2)[2a + (n - 1)d]
⇒ 636 = (n / 2)[2(9) + (n - 1)8]
⇒ 636 = (n / 2)[18 + 8n - 8]
⇒ 636 = (n / 2)[10 + 8n]
⇒ 636 = n[5 + 4n]
⇒ 636 = 5n + 4n²
⇒ 4n² + 5n - 636 = 0

এতিয়া মধ্যপদ বিভাজন কৰোঁ: 4 × 636 = 2544। 2544 ৰ দুটা উৎপাদক যাৰ পাৰ্থক্য 5 হ'ল 53 আৰু 48।
⇒ 4n² + 53n - 48n - 636 = 0
⇒ n(4n + 53) - 12(4n + 53) = 0
⇒ (4n + 53)(n - 12) = 0

গতিকে, হয় 4n + 53 = 0 ⇒ n = -53/4
অথবা n - 12 = 0 ⇒ n = 12
যিহেতু পদৰ সংখ্যা (n) ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হ'ব নোৱাৰে, সেয়েহে n = 12।
উত্তৰ: 12 টা পদ ল'ব লাগিব।

---

প্ৰশ্ন ৫: এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম পদ 5, অন্তিম পদ 45 আৰু যোগফল 400। মুঠ পদৰ সংখ্যা আৰু সাধাৰণ অন্তৰ নিৰ্ণয় কৰা ।
সমাধান:
দিয়া আছে,
প্ৰথম পদ (a) = 5
অন্তিম পদ (l) = 45
যোগফল (S_n) = 400

প্ৰথমে পদৰ সংখ্যা (n) নিৰ্ণয় কৰোঁ,
S_n = (n / 2)(a + l)
⇒ 400 = (n / 2)(5 + 45)
⇒ 400 = (n / 2) × 50
⇒ 400 = 25n
⇒ n = 400 / 25
⇒ n = 16

এতিয়া সাধাৰণ অন্তৰ (d) নিৰ্ণয় কৰোঁ,
l = a + (n - 1)d
⇒ 45 = 5 + (16 - 1)d
⇒ 45 - 5 = 15d
⇒ 40 = 15d
⇒ d = 40 / 15
⇒ d = 8 / 3
উত্তৰ: মুঠ পদৰ সংখ্যা = 16 আৰু সাধাৰণ অন্তৰ = 8/3।

---

প্ৰশ্ন ৬: এটা AP ৰ প্ৰথম পদ আৰু অন্তিম পদ ক্ৰমে 17 আৰু 350। যদি ইয়াৰ সাধাৰণ অন্তৰ 9, তেন্তে AP টোত কিমান পদ আৰু সিহঁতৰ যোগফল কিমান?
সমাধান:
দিয়া আছে,
a = 17
l = a_n = 350
d = 9

প্ৰথমে পদৰ সংখ্যা (n) উলিয়াওঁ,
a_n = a + (n - 1)d
⇒ 350 = 17 + (n - 1)9
⇒ 350 - 17 = 9(n - 1)
⇒ 333 = 9(n - 1)
⇒ n - 1 = 333 / 9
⇒ n - 1 = 37
⇒ n = 38

এতিয়া যোগফল (S_n) উলিয়াওঁ,
S_n = (n / 2)(a + l)
⇒ S₃₈ = (38 / 2)(17 + 350)
⇒ S₃₈ = 19 × 367
⇒ S₃₈ = 6973
উত্তৰ: পদৰ সংখ্যা = 38 আৰু যোগফল = 6973।

---

প্ৰশ্ন ৭১: এটা AP ৰ d = 7 আৰু 22তম পদটো 149 হ'লে ইয়াৰ প্ৰথম 22 টা পদৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা ।
সমাধান:
দিয়া আছে,
d = 7
n = 22
a₂₂ = 149

প্ৰথমে a উলিয়াওঁ,
a₂₂ = a + 21d
⇒ 149 = a + 21(7)
⇒ 149 = a + 147
⇒ a = 149 - 147
⇒ a = 2

এতিয়া S₂₂ উলিয়াওঁ,
S₂₂ = (n / 2)(a + a₂₂)
⇒ S₂₂ = (22 / 2)(2 + 149)
⇒ S₂₂ = 11 × 151
⇒ S₂₂ = 1661
উত্তৰ: প্ৰথম 22 টা পদৰ যোগফল = 1661।

---

প্ৰশ্ন ৮: এটা AP ৰ দ্বিতীয় আৰু তৃতীয় পদ ক্ৰমে 14 আৰু 18 হ'লে প্ৰথম 51 টা পদৰ যোগফল উলিওৱা ।
সমাধান:
দিয়া আছে,
a₂ = 14
a₃ = 18

সাধাৰণ অন্তৰ (d) = a₃ - a₂ = 18 - 14 = 4
প্ৰথম পদ (a) = a₂ - d = 14 - 4 = 10
পদৰ সংখ্যা (n) = 51

আমি জানো যে, S_n = (n / 2)[2a + (n - 1)d]
⇒ S₅₁ = (51 / 2)[2(10) + (51 - 1)4]
⇒ S₅₁ = (51 / 2)[20 + 50 × 4]
⇒ S₅₁ = (51 / 2)[20 + 200]
⇒ S₅₁ = (51 / 2) × 220
⇒ S₅₁ = 51 × 110
⇒ S₅₁ = 5610
উত্তৰ: প্ৰথম 51 টা পদৰ যোগফল = 5610।

---

প্ৰশ্ন ৯: এটা AP ৰ প্ৰথম 7 টা পদৰ যোগফল 49 আৰু প্ৰথম 17 টা পদৰ যোগফল 289, AP টোৰ প্ৰথম n টা পদৰ যোগফল উলিওৱা ।
সমাধান:
দিয়া আছে,
S₇ = 49
⇒ (7 / 2)[2a + (7 - 1)d] = 49
⇒ (7 / 2)[2a + 6d] = 49
⇒ 7(a + 3d) = 49
⇒ a + 3d = 7 -------- (সমীকৰণ ১)

আকৌ, S₁₇ = 289
⇒ (17 / 2)[2a + (17 - 1)d] = 289
⇒ (17 / 2)[2a + 16d] = 289
⇒ 17(a + 8d) = 289
⇒ a + 8d = 17 -------- (সমীকৰণ ২)

সমীকৰণ (২) ৰ পৰা (১) বিয়োগ কৰিলে পাওঁ:
(a + 8d) - (a + 3d) = 17 - 7
⇒ 5d = 10
⇒ d = 2

d ৰ মান (১) ত বহুৱাই পাওঁ:
a + 3(2) = 7
⇒ a + 6 = 7
⇒ a = 1

এতিয়া n টা পদৰ যোগফল উলিয়াওঁ,
S_n = (n / 2)[2a + (n - 1)d]
⇒ S_n = (n / 2)[2(1) + (n - 1)2]
⇒ S_n = (n / 2)[2 + 2n - 2]
⇒ S_n = (n / 2)[2n]
⇒ S_n = n²
উত্তৰ: প্ৰথম n টা পদৰ যোগফল = n²।

---

প্ৰশ্ন ১০: দেখুওৱা যে, a₁, a₂, ... a_n, ... পদসমূহে এটা AP গঠন কৰে যাৰ a_n ক তলত দিয়াৰ দৰে সংজ্ঞাবদ্ধ কৰা হৈছে :
(i) a_n = 3 + 4n
সমাধান:
দিয়া আছে, a_n = 3 + 4n
n = 1 বহুৱাই পাওঁ, a₁ = 3 + 4(1) = 7
n = 2 বহুৱাই পাওঁ, a₂ = 3 + 4(2) = 11
n = 3 বহুৱাই পাওঁ, a₃ = 3 + 4(3) = 15

ইয়াত, a₂ - a₁ = 11 - 7 = 4
a₃ - a₂ = 15 - 11 = 4
যিহেতু প্ৰতিটো পদৰ পাৰ্থক্য একে (d = 4), গতিকে পদসমূহে এটা AP গঠন কৰে।

প্ৰথম 15 টা পদৰ যোগফল (S₁₅):
S₁₅ = (15 / 2)[2a + (15 - 1)d]
⇒ S₁₅ = (15 / 2)[2(7) + 14(4)]
⇒ S₁₅ = (15 / 2)[14 + 56]
⇒ S₁₅ = (15 / 2) × 70
⇒ S₁₅ = 15 × 35
⇒ S₁₅ = 525
উত্তৰ: AP গঠন কৰে আৰু S₁₅ = 525।

(ii) a_n = 9 - 5n
সমাধান:
দিয়া আছে, a_n = 9 - 5n
n = 1 বহুৱাই পাওঁ, a₁ = 9 - 5(1) = 4
n = 2 বহুৱাই পাওঁ, a₂ = 9 - 5(2) = -1
n = 3 বহুৱাই পাওঁ, a₃ = 9 - 5(3) = -6

ইয়াত, a₂ - a₁ = -1 - 4 = -5
a₃ - a₂ = -6 - (-1) = -5
যিহেতু পাৰ্থক্য একে (d = -5), গতিকে ই এটা AP।

প্ৰথম 15 টা পদৰ যোগফল (S₁₅):
S₁₅ = (15 / 2)[2a + (15 - 1)d]
⇒ S₁₅ = (15 / 2)[2(4) + 14(-5)]
⇒ S₁₅ = (15 / 2)[8 - 70]
⇒ S₁₅ = (15 / 2) × (-62)
⇒ S₁₅ = 15 × (-31)
⇒ S₁₅ = -465
উত্তৰ: AP গঠন কৰে আৰু S₁₅ = -465।

প্ৰশ্ন ১১ - ২০: ব্যৱহাৰিক সমস্যাসমূহ:

প্ৰশ্ন ১১: যদি এটা AP ৰ প্ৰথম n টা পদৰ যোগফল 4n - n², তেন্তে ইয়াৰ প্ৰথম পদ (S₁) কি? প্ৰথম পদ দুটাৰ যোগফল কিমান? দ্বিতীয় পদটো কি? একেদৰে, তৃতীয়, দশম আৰু n-তম পদকেইটা নিৰ্ণয় কৰা ।
সমাধান:
দিয়া আছে, S_n = 4n - n²

প্ৰথম পদ, a₁ = S₁
⇒ S₁ = 4(1) - (1)² = 4 - 1 = 3
গতিকে, প্ৰথম পদ = 3।

প্ৰথম দুটা পদৰ যোগফল, S₂
⇒ S₂ = 4(2) - (2)² = 8 - 4 = 4

দ্বিতীয় পদ, a₂ = S₂ - S₁
⇒ a₂ = 4 - 3 = 1

তৃতীয় পদৰ বাবে প্ৰথমে S₃ উলিয়াওঁ:
S₃ = 4(3) - (3)² = 12 - 9 = 3
তৃতীয় পদ, a₃ = S₃ - S₂ = 3 - 4 = -1

দশম পদৰ বাবে প্ৰথমে S₁₀ আৰু S₉ উলিয়াওঁ:
S₁₀ = 4(10) - (10)² = 40 - 100 = -60
S₉ = 4(9) - (9)² = 36 - 81 = -45
দশম পদ, a₁₀ = S₁₀ - S₉ = -60 - (-45) = -60 + 45 = -15

n-তম পদ, a_n = S_n - S_n-1
⇒ a_n = (4n - n²) - [4(n - 1) - (n - 1)²]
⇒ a_n = (4n - n²) - [4n - 4 - (n² - 2n + 1)]
⇒ a_n = (4n - n²) - [4n - 4 - n² + 2n - 1]
⇒ a_n = 4n - n² - [6n - n² - 5]
⇒ a_n = 4n - n² - 6n + n² + 5
⇒ a_n = 5 - 2n
উত্তৰ: প্ৰথম পদ = 3, প্ৰথম দুটাৰ যোগফল = 4, দ্বিতীয় পদ = 1, তৃতীয় পদ = -1, দশম পদ = -15, আৰু n-তম পদ = 5 - 2n।

---

প্ৰশ্ন ১২: 6 ৰে বিভাজ্য প্ৰথম 40 টা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা ।
সমাধান:
6 ৰে বিভাজ্য সংখ্যাসমূহ হ'ল: 6, 12, 18, 24, ...
এইবোৰ সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে য'ত,
প্ৰথম পদ (a) = 6
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = 6
পদৰ সংখ্যা (n) = 40

আমি জানো যে, S_n = (n / 2)[2a + (n - 1)d]
⇒ S₄₀ = (40 / 2) [2(6) + (40 - 1)6]
⇒ S₄₀ = 20 [12 + 39 × 6]
⇒ S₄₀ = 20 [12 + 234]
⇒ S₄₀ = 20 × 246
⇒ S₄₀ = 4920
উত্তৰ: যোগফল = 4920।

---

প্ৰশ্ন ১৩: প্ৰথম 15 টা 8 ৰ গুণিতকৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা ।
সমাধান:
8 ৰ গুণিতকসমূহ হ'ল: 8, 16, 24, 32, ...
ইয়াত,
a = 8
d = 8
n = 15

S_n = (n / 2)[2a + (n - 1)d]
⇒ S₁₅ = (15 / 2) [2(8) + (15 - 1)8]
⇒ S₁₅ = (15 / 2) [16 + 14 × 8]
⇒ S₁₅ = (15 / 2) [16 + 112]
⇒ S₁₅ = (15 / 2) × 128
⇒ S₁₅ = 15 × 64
⇒ S₁₅ = 960
উত্তৰ: যোগফল = 960।

---

প্ৰশ্ন ১৪: 0 আৰু 50 ৰ মাজৰ অযুগ্ম সংখ্যাবিলাকৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা ।
সমাধান:
0 আৰু 50 ৰ মাজৰ অযুগ্ম সংখ্যাসমূহ হ'ল: 1, 3, 5, 7, ... , 49
এইবোৰ সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে য'ত,
a = 1
d = 2
অন্তিম পদ (l) = 49

প্ৰথমে পদৰ সংখ্যা (n) উলিয়াওঁ,
l = a + (n - 1)d
⇒ 49 = 1 + (n - 1)2
⇒ 48 = (n - 1)2
⇒ n - 1 = 24
⇒ n = 25

এতিয়া যোগফল (S_n) উলিয়াওঁ,
S_n = (n / 2)(a + l)
⇒ S₂₅ = (25 / 2)(1 + 49)
⇒ S₂₅ = (25 / 2) × 50
⇒ S₂₅ = 25 × 25
⇒ S₂₅ = 625
উত্তৰ: যোগফল = 625।

---

প্ৰশ্ন ১৫: এটা নিৰ্মাণ কাৰ্যৰ ঠিকাত নিৰ্মাণৰ কাম এটা নিৰ্ধাৰিত তাৰিখতকৈ পলম হ'লে দিব লগা জৰিমনা এনেধৰণৰ: প্ৰথম দিনা 200 টকা, দ্বিতীয় দিনা 250 টকা, তৃতীয় দিনা 300 টকা ইত্যাদি। অৰ্থাৎ প্ৰতিটো পৰৱৰ্তী দিনৰ জৰিমনা তাৰ পূৰ্বৱৰ্তী দিনতকৈ 50 টকা বেছি। ঠিকাদাৰ এজনে কামটো 30 দিন পলমকৈ সম্পূৰ্ণ কৰিলে। তেওঁ মুঠ কিমান টকা জৰিমনা ভৰিব লাগিব?
সমাধান:
প্ৰতিদিনে দিব লগা জৰিমনাৰ তালিকাখন হ'ল: 200, 250, 300, ...
ই এটা সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰিছে য'ত,
প্ৰথম পদ (a) = 200
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = 50
দিনৰ সংখ্যা (n) = 30

মুঠ জৰিমনা (S₃₀) উলিওৱাৰ বাবে,
S_n = (n / 2)[2a + (n - 1)d]
⇒ S₃₀ = (30 / 2) [2(200) + (30 - 1)50]
⇒ S₃₀ = 15 [400 + 29 × 50]
⇒ S₃₀ = 15 [400 + 1450]
⇒ S₃₀ = 15 × 1850
⇒ S₃₀ = 27750
উত্তৰ: ঠিকাদাৰজনে মুঠ 27,750 টকা জৰিমনা ভৰিব লাগিব।

---

প্ৰশ্ন ১৬: এখন বিদ্যালয়ৰ শিক্ষাৰ্থীসকলক বিদ্যায়তনিক ক্ষেত্ৰত দেখুওৱা পাৰদৰ্শিতাৰ বাবে মুঠ 700 টকাৰ সাতটা নগদ ধনৰ পুৰস্কাৰ দিব লগা হ'ল। যদি প্ৰতিটো পুৰস্কাৰৰ ধন তাৰ আগৰটোতকৈ 20 টকা কম হয়, তেনেহ'লে প্ৰতিটো পুৰস্কাৰৰ মূল্য নিৰ্ণয় কৰা ।
সমাধান:
দিয়া আছে,
মুঠ পুৰস্কাৰৰ ধন (S_n) = 700
পুৰস্কাৰৰ সংখ্যা (n) = 7
প্ৰতিটো পুৰস্কাৰ তাৰ আগৰটোতকৈ 20 টকা কম, অৰ্থাৎ সাধাৰণ অন্তৰ (d) = -20

ধৰো প্ৰথম পুৰস্কাৰৰ মূল্য = a
আমি জানো যে, S_n = (n / 2)[2a + (n - 1)d]
⇒ 700 = (7 / 2) [2a + (7 - 1)(-20)]
⇒ 700 × 2 / 7 = 2a + 6(-20)
⇒ 100 × 2 = 2a - 120
⇒ 200 = 2a - 120
⇒ 2a = 200 + 120
⇒ 2a = 320
⇒ a = 160

গতিকে প্ৰথম পুৰস্কাৰৰ মূল্য 160 টকা।
পৰৱৰ্তী পুৰস্কাৰসমূহ হ'ব ক্ৰমে: (160 - 20) = 140, 120, 100, 80, 60, আৰু 40 টকা।
উত্তৰ: প্ৰতিটো পুৰস্কাৰৰ মূল্য ক্ৰমে 160, 140, 120, 100, 80, 60 আৰু 40 টকা।

---

প্ৰশ্ন ১৭: এখন বিদ্যালয়ৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকলে বায়ু প্ৰদূষণ ৰোধৰ উদ্দেশ্যে বিদ্যালয়ৰ চৌপাশে বৃক্ষৰোপণ কৰিবলৈ মনস্থ কৰিলে। এইটো সিদ্ধান্ত লোৱা হ'ল যে প্ৰতিটো শ্ৰেণীৰ প্ৰতিটো শাখাৰপৰা তেওঁলোক পঢ়া শ্ৰেণীটোৰ সমসংখ্যক বৃক্ষৰোপণ কৰিব। উদাহৰণস্বৰূপে প্ৰথম শ্ৰেণীৰ এটা শাখাই এজোপা, দ্বিতীয় শ্ৰেণীৰ এটা শাখাই দুজোপা ইত্যাদিকৈ গৈ সেইদৰে দ্বাদশ শ্ৰেণীলৈকে বৃক্ষ ৰোপণ কৰিব। প্ৰতিটো শ্ৰেণীৰে তিনিটাকৈ শাখা আছে। ছাত্ৰ-ছাত্ৰীবিলাকে মুঠতে কিমান জোপা গছ ৰোপণ কৰিব?
সমাধান:
বিদ্যালয়খনত প্ৰথমৰ পৰা দ্বাদশ শ্ৰেণীলৈকে মুঠ ১২ টা শ্ৰেণী আছে (n = 12)।
প্ৰতিটো শ্ৰেণীৰ এটা শাখাই ৰোপণ কৰা গছৰ সংখ্যা শ্ৰেণীটোৰ নম্বৰৰ সমান।
গতিকে ১ম শ্ৰেণীলৈকে এটা শাখাই ৰোৱা গছ = ১, ২য় শ্ৰেণীলৈকে = ২, ..., ১২শ শ্ৰেণীলৈকে = ১২।

এটা শাখাই সৰ্বমুঠ ৰোপণ কৰা গছৰ সংখ্যা = 1 + 2 + 3 + ... + 12
ই এটা সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে য'ত a = 1, d = 1, আৰু n = 12।
যোগফল (S₁₂) = (12 / 2) (1 + 12)
= 6 × 13
= 78 জোপা।

যিহেতু প্ৰতিটো শ্ৰেণীৰে ৩ টাকৈ শাখা আছে, গতিকে মুঠ ৰোপণ কৰা গছৰ সংখ্যা
= 3 × 78
= 234 জোপা।
উত্তৰ: মুঠতে 234 জোপা গছ ৰোপণ কৰিব।

---

প্ৰশ্ন ১৮: চিত্ৰ 5.4 ত দেখুওৱাৰ দৰে 0.5 ছে.মি., 1.0 চে.মি., 1.5 চে.মি., 2.0 চে.মি..... ব্যাসাৰ্ধৰ আনুক্ৰমিকভাৱে থকা কিছুমান অৰ্ধবৃত্তৰ দ্বাৰা এটি কুণ্ডলী সজোৱা হ'ল। এই অৰ্ধবৃত্তবোৰৰ কেন্দ্ৰ A ত আৰম্ভ। ই এটাৰ পিছত এটাকৈ ক্ৰমে A, B কৈ আছে। 13 টা একাদিক্ৰমে থকা অৰ্ধবৃত্তৰ দ্বাৰা গঠিত এনে এটা কুণ্ডলীৰ মুঠ দৈৰ্ঘ্য কিমান? (ধৰা π = 22/7)
সমাধান:
আমি জানো যে, অৰ্ধবৃত্তৰ পৰিধি (দৈৰ্ঘ্য) l = πr
প্ৰথম অৰ্ধবৃত্তৰ দৈৰ্ঘ্য (l₁) = π(0.5) ছে.মি.
দ্বিতীয় অৰ্ধবৃত্তৰ দৈৰ্ঘ্য (l₂) = π(1.0) ছে.মি.
তৃতীয় অৰ্ধবৃত্তৰ দৈৰ্ঘ্য (l₃) = π(1.5) ছে.মি.
এইদৰে 13 টা অৰ্ধবৃত্ত আছে।

মুঠ দৈৰ্ঘ্য (L) = l₁ + l₂ + l₃ + ... + l₁₃
= π(0.5) + π(1.0) + π(1.5) + ... + π(6.5)
= π [0.5 + 1.0 + 1.5 + ... 13 টা পদলৈ]

ব্ৰেকেটৰ ভিতৰৰ অংশটো এটা সমান্তৰ প্ৰগতি য'ত a = 0.5, d = 0.5, আৰু n = 13।
যোগফল = (13 / 2) [2(0.5) + (13 - 1)(0.5)]
= (13 / 2) [1.0 + 12(0.5)]
= (13 / 2) [1.0 + 6.0]
= (13 / 2) × 7

গতিকে মুঠ দৈৰ্ঘ্য L = π × (13 / 2) × 7
π ৰ মান 22/7 বহুৱাই পাওঁ,
L = (22 / 7) × (13 / 2) × 7
= 11 × 13
= 143 ছে.মি.
উত্তৰ: কুণ্ডলীৰ মুঠ দৈৰ্ঘ্য 143 ছে.মি.।

---

প্ৰশ্ন ১৯: 200 টুকুৰা কাঠ এনেদৰে সজোৱা হ'ল: 20 টুকুৰা একেবাৰে তলৰ শাৰীত, তাৰ পিছৰ শাৰীত 19 টুকুৰা, তাৰ পিছত 18 টুকুৰা ইত্যাদি। (চিত্ৰ 5.5 চোৱা)। 200 টুকুৰা কাঠ কিমান শাৰীত সজোৱা হ'ল আৰু একেবাৰে ওপৰৰ শাৰীত কেইটুকুৰা কাঠ আছে?
সমাধান:
প্ৰতিটো শাৰীত থকা কাঠৰ টুকুৰাৰ সংখ্যাই এটা সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে:
20, 19, 18, 17, ...
ইয়াত,
প্ৰথম পদ (a) = 20
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = 19 - 20 = -1
মুঠ কাঠৰ টুকুৰা (S_n) = 200

আমি জানো যে, S_n = (n / 2)[2a + (n - 1)d]
⇒ 200 = (n / 2) [2(20) + (n - 1)(-1)]
⇒ 400 = n [40 - n + 1]
⇒ 400 = n [41 - n]
⇒ 400 = 41n - n²
⇒ n² - 41n + 400 = 0

মধ্যপদ বিভাজন কৰি পাওঁ (400 ৰ উৎপাদক 16 আৰু 25 যি দুটাৰ যোগফল 41):
⇒ n² - 16n - 25n + 400 = 0
⇒ n(n - 16) - 25(n - 16) = 0
⇒ (n - 16)(n - 25) = 0
গতিকে, হয় n = 16 অথবা n = 25।

যদি n = 25 হয়, তেন্তে একেবাৰে ওপৰৰ শাৰীত থকা কাঠৰ টুকুৰা,
a₂₅ = a + 24d = 20 + 24(-1) = 20 - 24 = -4
যিহেতু কাঠৰ টুকুৰাৰ সংখ্যা ঋণাত্মক হ'ব নোৱাৰে, গতিকে n = 25 গ্ৰহণযোগ্য নহয়।

সেয়েহে, n = 16।
ওপৰৰ (16-তম) শাৰীত থকা কাঠৰ টুকুৰা,
a₁₆ = a + 15d = 20 + 15(-1) = 20 - 15 = 5
উত্তৰ: 200 টুকুৰা কাঠ 16 টা শাৰীত সজোৱা হৈছে আৰু একেবাৰে ওপৰৰ শাৰীত 5 টুকুৰা কাঠ আছে।

---

প্ৰশ্ন ২০: এটা আলু দৌৰ প্ৰতিযোগিতাত এটা বাল্টি আৰম্ভণী বিন্দুত থোৱা আছে আৰু বাল্টিটো প্ৰথম আলুটোৰ পৰা 5 মি. আঁতৰত আছে। এডাল সৰলৰেখাত 3 মি. আঁতৰে আঁতৰে আনবিলাক আলু আছে। ৰেখাডালত মুঠতে 10 টা আলু আছে। (চিত্ৰ 5.6 চোৱা)। এজন প্ৰতিযোগীয়ে বাল্টিটোৰ কাষৰ পৰা দৌৰি গৈ একেবাৰে ওচৰতে পোৱা আলুটো বুটলি লৈ উভতি দৌৰি আহি আলুটো বাল্টিটোত ভৰাই থৈ পুনৰ দৌৰি গৈ ওচৰতে থকা পিছৰ আলুটো বুটলি লৈ আকৌ উভতি দৌৰি আহি একেদৰে বাল্টিটোত থয়। এইদৰে তেওঁ দৌৰি দৌৰি শেষৰ আলুটোও বাল্টিটোত থয়। প্ৰতিযোগীজনে মুঠতে কিমান দূৰত্ব দৌৰিব লগা হ'ল?
সমাধান:
প্ৰতিযোগীজনে প্ৰতিটো আলু বুটলিবলৈ দুবাৰ (যোৱা আৰু অহা) দৌৰিব লাগে।
প্ৰথম আলুৰ বাবে দূৰত্ব = 2 × 5 = 10 মি.
দ্বিতীয় আলুৰ বাবে দূৰত্ব = 2 × (5 + 3) = 2 × 8 = 16 মি.
তৃতীয় আলুৰ বাবে দূৰত্ব = 2 × (5 + 3 + 3) = 2 × 11 = 22 মি.
এইদৰে 10 টা আলুৰ বাবে দূৰত্বসমূহ হ'ল: 10, 16, 22, ...

এই তালিকাখনে এটা সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰিছে য'ত,
প্ৰথম পদ (a) = 10
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = 16 - 10 = 6
পদৰ সংখ্যা (n) = 10

মুঠ দৌৰিব লগা দূৰত্ব (S₁₀) উলিয়াবলৈ,
S_n = (n / 2)[2a + (n - 1)d]
⇒ S₁₀ = (10 / 2) [2(10) + (10 - 1)6]
⇒ S₁₀ = 5 [20 + 9 × 6]
⇒ S₁₀ = 5 [20 + 54]
⇒ S₁₀ = 5 × 74
⇒ S₁₀ = 370
উত্তৰ: প্ৰতিযোগীজনে মুঠতে 370 মিটাৰ দূৰত্ব দৌৰিব লাগিব।

প্ৰশ্ন ২১ - ২৬: বহু-বিকল্পভিত্তিক (MCQs) আৰু অতিৰিক্ত প্ৰশ্নোত্তৰ:

প্ৰশ্ন ২১: এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম আৰু শেষৰ পদ দুটা ক্ৰমে 1 আৰু 11 যদি পদসমূহৰ যোগফল 36 হয়, তেন্তে পদৰ সংখ্যা হ'ব-
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
সমাধান:
দিয়া আছে, a = 1, l = 11, S_n = 36
S_n = (n / 2)(a + l)
⇒ 36 = (n / 2)(1 + 11)
⇒ 36 = (n / 2) × 12
⇒ 36 = 6n
⇒ n = 36 / 6 = 6
উত্তৰ: (B) 6

---

প্ৰশ্ন ২২: তালিকা মিলোৱা :
তালিকা I:
P) n টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সমষ্টি
Q) প্ৰথম পদ 'a', আৰু সাধাৰণ অন্তৰ 'd' হ'লে n-তম পদলৈ যোগফল
R) প্ৰথম n টা অযুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল
S) প্ৰথম n টা যুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল
তালিকা II:
1) n²
2) n(n + 1)
3) n(n + 1) / 2
4) (n / 2){2a + (n - 1)d}

সমাধান:
আমি জানো যে,
প্ৰথম n টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সমষ্টি = n(n + 1) / 2 [অৰ্থাৎ P → 3]
n-তম পদলৈ যোগফল = (n / 2){2a + (n - 1)d} [অৰ্থাৎ Q → 4]
প্ৰথম n টা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল = n² [অৰ্থাৎ R → 1]
প্ৰথম n টা যুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল = n(n + 1) [অৰ্থাৎ S → 2]
উত্তৰ: (C) P→3, Q→4, R→1, S→2

---

প্ৰশ্ন ২৩: 5, 9, 13, ..., 185 AP টোৰ বাবে তলত দিয়া কোনটো শুদ্ধ হ'ব?
(i) a_n = 1 + 4n
(ii) a₃ + a₄ = 30
(iii) S_n = (n / 2) × 190
(iv) n = 43
সমাধান:
ইয়াত, a = 5, d = 4, a_n = 185
পৰীক্ষা (i): a_n = a + (n - 1)d = 5 + (n - 1)4 = 5 + 4n - 4 = 1 + 4n (শুদ্ধ)
পৰীক্ষা (ii): a₃ = 13, a₄ = 17। a₃ + a₄ = 13 + 17 = 30 (শুদ্ধ)
পৰীক্ষা (iii): S_n = (n / 2)(a + l) = (n / 2)(5 + 185) = (n / 2) × 190 (শুদ্ধ)
পৰীক্ষা (iv): 185 = 1 + 4n ⇒ 4n = 184 ⇒ n = 46 (দিয়া আছে n = 43, গতিকে অশুদ্ধ)
উত্তৰ: (C) (i), (ii), (iii) শুদ্ধ।

---

প্ৰশ্ন ২৪: এই প্ৰশ্নটোত এটা উক্তি (A) আৰু এটা যুক্তি (R) দিয়া আছে।
উক্তি (A): 11, 13, 15, 17, ... ক্ৰমটোৰ প্ৰথম 10 টা পদৰ যোগফল হ'ব 200।
যুক্তি (R): প্ৰথম n টা অযুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল n² ।
সমাধান:
প্ৰথমে উক্তি (A) পৰীক্ষা কৰোঁ:
a = 11, d = 2, n = 10
S₁₀ = (10 / 2)[2(11) + 9(2)] = 5 [22 + 18] = 5 × 40 = 200। গতিকে উক্তি (A) সত্য।
যুক্তি (R) টোও সত্য কাৰণ প্ৰথম n টা অযুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল সঁচাকৈয়ে n²।
কিন্তু, যুক্তি (R) য়ে উক্তি (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা নকৰে, কাৰণ উক্তি (A) ত দিয়া শ্ৰেণীটো 1 ৰ পৰা আৰম্ভ হোৱা নাই।
উত্তৰ: (B) (A) আৰু (R) দুয়োটাই সত্য আৰু (R), (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা নহয়।

---

প্ৰশ্ন ২৫: প্ৰথম n টা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল S₁ আৰু প্ৰথম n টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল S₂ হ'লে S₁ / S₂ ৰ মান হ'ব-
সমাধান:
আমি জানো যে,
প্ৰথম n টা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল, S₁ = n²
প্ৰথম n টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল, S₂ = n(n + 1) / 2
এতিয়া,
S₁ / S₂ = n² / [n(n + 1) / 2]
= (n² × 2) / [n(n + 1)]
= 2n / (n + 1)
উত্তৰ: (A) 2n / (n + 1)

---

প্ৰশ্ন ২৬: এগৰাকী ফলৰ দোকানীয়ে 240 টা আপেল থকা কাৰ্টুন এটাৰ পৰা আপেলবোৰ প্ৰথম শাৰীত 6 টা, দ্বিতীয় শাৰীত 10 টা আৰু তৃতীয় শাৰীত 14 টা ইত্যাদিকে আপেলবোৰ সজালে ।
সমাধান:
ইয়াত আপেলৰ শাৰীসমূহে এটা সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে: 6, 10, 14, ...
য'ত, a = 6, d = 4, আৰু মুঠ আপেল (S_n) = 240

(i) আপেলৰ মুঠ শাৰীৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা :
S_n = (n / 2)[2a + (n - 1)d]
⇒ 240 = (n / 2)[2(6) + (n - 1)4]
⇒ 480 = n[12 + 4n - 4]
⇒ 480 = n[8 + 4n]
⇒ 480 = 8n + 4n²
সমগ্ৰ সমীকৰণক 4 ৰে হৰণ কৰি পাওঁ:
⇒ n² + 2n - 120 = 0
⇒ n² + 12n - 10n - 120 = 0
⇒ n(n + 12) - 10(n + 12) = 0
⇒ (n + 12)(n - 10) = 0
যিহেতু n ঋণাত্মক হ'ব নোৱাৰে, গতিকে n = 10
উত্তৰ: আপেলৰ মুঠ শাৰীৰ সংখ্যা 10 টা।

(ii) সপ্তম আৰু তৃতীয় শাৰীত থকা আপেলৰ পাৰ্থক্য উলিওৱা :
a₇ - a₃ = (a + 6d) - (a + 2d)
= 4d = 4 × 4 = 16
উত্তৰ: পাৰ্থক্য = 16 টা আপেল।

(iii) শেষৰ ফালৰ পৰা তৃতীয় শাৰীত থকা আপেলৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা :
মুঠ শাৰী = 10। শেষৰ ফালৰ পৰা তৃতীয় শাৰী মানে আৰম্ভণিৰ পৰা (10 - 3 + 1) = 8ম শাৰী।
a₈ = a + 7d = 6 + 7(4) = 6 + 28 = 34
উত্তৰ: শেষৰ ফালৰ পৰা তৃতীয় শাৰীত 34 টা আপেল আছে।

(iv) 32 টা আপেল থকা কোনো শাৰী আছেনে নিৰীক্ষণ কৰা :
ধৰো n-তম শাৰীত 32 টা আপেল আছে।
a_n = 32
⇒ a + (n - 1)d = 32
⇒ 6 + (n - 1)4 = 32
⇒ (n - 1)4 = 26
⇒ n - 1 = 26 / 4 = 6.5
⇒ n = 7.5
যিহেতু n ৰ মান এটা অখণ্ড সংখ্যা নহয়, সেয়েহে 32 টা আপেল থকা কোনো শাৰী থাকিব নোৱাৰে।
উত্তৰ: নাই, 32 টা আপেল থকা কোনো শাৰী নাই।

Q1. Class 10 maths 5.2 assamese medium question answer বোৰত n ৰ মান ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হ'ব পাৰেনে?

Ans: নহয়, পদৰ সংখ্যা (n) সদায় এটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা (Positive Integer) হ'ব লাগিব। n ৰ মান কেতিয়াও ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হ'ব নোৱাৰে।

Q2. Class 10 maths chapter 5.2 assamese medium solution ৰ PDF ক'ত পোৱা যাব?

Ans: আপুনি এই ৱেবছাইটৰ পৰাই 'Class 10 5.2 assamese new math solution pdf' সহজতে পঢ়িব পাৰিব আৰু প্ৰয়োজনে নিজৰ টোকা বুকত সংৰক্ষণ কৰি ল'ব পাৰিব।

Q3. অনুশীলনী 5.2 class 10 ৰ পৰা মেট্ৰিক পৰীক্ষাত (SEBA Board) কেনেকুৱা প্ৰশ্ন আহে?

Ans: সাধাৰণতে কোনো এটা AP ৰ কেইটামান পদ দি n-তম পদ উলিওৱা, পদৰ সংখ্যা 'n' নিৰ্ণয় কৰা, বা কোনো এটা সংখ্যা সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ পদ হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰা সংক্রান্তীয় 2/3 নম্বৰীয়া প্ৰশ্ন সোধা হয়।