Class 10 Maths Chapter 5 Exercise 5.2 Solutions in Assamese | SEBA Class 10 Maths New Book

💡 মূল সূত্ৰ:
• সমান্তৰ প্ৰগতিৰ n-তম পদ: a_n = a + (n - 1)d

প্ৰশ্ন ১: দিয়া আছে যে সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম পদ a, সাধাৰণ অন্তৰ d আৰু n-তম পদ a_n। তলৰ তালিকাখনৰ খালী ঠাইসমূহ পূৰণ কৰা :

(i) a = 7, d = 3, n = 8, a_n = ?
সমাধান:
দিয়া আছে,
প্ৰথম পদ (a) = 7
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = 3
পদৰ সংখ্যা (n) = 8

আমি জানো যে, সমান্তৰ প্ৰগতিৰ n-তম পদৰ সূত্ৰ—
a_n = a + (n - 1)d
মানসমূহ বহুৱাই পাওঁ,
⇒ a₈ = 7 + (8 - 1) × 3
⇒ a₈ = 7 + (7) × 3
⇒ a₈ = 7 + 21
⇒ a₈ = 28
গতিকে, নিৰ্ণেয় a_n = 28।

---

(ii) a = -18, d = ?, n = 10, a_n = 0
সমাধান:
দিয়া আছে,
a = -18
n = 10
a_n = 0

সূত্ৰমতে,
a_n = a + (n - 1)d
⇒ 0 = -18 + (10 - 1)d
⇒ 0 = -18 + 9d
⇒ 9d = 18
⇒ d = 18 / 9
⇒ d = 2
গতিকে, নিৰ্ণেয় সাধাৰণ অন্তৰ (d) = 2।

---

(iii) a = ?, d = -3, n = 18, a_n = -5
সমাধান:
দিয়া আছে,
d = -3
n = 18
a_n = -5

সূত্ৰমতে,
a_n = a + (n - 1)d
⇒ -5 = a + (18 - 1)(-3)
⇒ -5 = a + (17)(-3)
⇒ -5 = a - 51
⇒ a = -5 + 51
⇒ a = 46
গতিকে, নিৰ্ণেয় প্ৰথম পদ (a) = 46।

---

(iv) a = -18.9, d = 2.5, n = ?, a_n = 3.6
সমাধান:
দিয়া আছে,
a = -18.9
d = 2.5
a_n = 3.6

সূত্ৰমতে,
a_n = a + (n - 1)d
⇒ 3.6 = -18.9 + (n - 1)2.5
⇒ 3.6 + 18.9 = (n - 1)2.5
⇒ 22.5 = (n - 1)2.5
⇒ (n - 1) = 22.5 / 2.5
⇒ n - 1 = 9
⇒ n = 9 + 1
⇒ n = 10
গতিকে, নিৰ্ণেয় পদৰ সংখ্যা (n) = 10।

---

(v) a = 3.5, d = 0, n = 105, a_n = ?
সমাধান:
দিয়া আছে,
a = 3.5
d = 0
n = 105

সূত্ৰমতে,
a_n = a + (n - 1)d
⇒ a₁₀₅ = 3.5 + (105 - 1) × 0
⇒ a₁₀₅ = 3.5 + 104 × 0
⇒ a₁₀₅ = 3.5 + 0
⇒ a₁₀₅ = 3.5
গতিকে, নিৰ্ণেয় a_n = 3.5।

প্ৰশ্ন ২: তলৰ প্ৰতিটোৰে শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱা আৰু কাৰণ দৰ্শোৱা :

(i) 10, 7, 4, ... এই সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ 30তম পদটো—
(A) 97
(B) 77
(C) -77
(D) -87

সমাধান আৰু কাৰণ:
দিয়া সমান্তৰ প্ৰগতিটো: 10, 7, 4, ...
ইয়াত,
প্ৰথম পদ (a) = 10
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = 7 - 10 = -3
পদৰ সংখ্যা (n) = 30

আমি জানো যে,
a_n = a + (n - 1)d
⇒ a₃₀ = 10 + (30 - 1)(-3)
⇒ a₃₀ = 10 + (29)(-3)
⇒ a₃₀ = 10 - 87
⇒ a₃₀ = -77
উত্তৰ: (C) -77

---

(ii) -3, -1/2, 2, ... এই সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ 11তম পদটো—
(A) 28
(B) 22
(C) -38
(D) -48(1/2)

সমাধান আৰু কাৰণ:
দিয়া সমান্তৰ প্ৰগতিটো: -3, -1/2, 2, ...
ইয়াত,
প্ৰথম পদ (a) = -3
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = -1/2 - (-3) = -1/2 + 3 = (-1 + 6) / 2 = 5/2
পদৰ সংখ্যা (n) = 11

আমি জানো যে,
a_n = a + (n - 1)d
⇒ a₁₁ = -3 + (11 - 1)(5/2)
⇒ a₁₁ = -3 + (10)(5/2)
⇒ a₁₁ = -3 + 5 × 5
⇒ a₁₁ = -3 + 25
⇒ a₁₁ = 22
উত্তৰ: (B) 22

প্ৰশ্ন ৩: তলৰ সমান্তৰ প্ৰগতিসমূহৰ খালীঘৰ কেইটাৰ লুপ্ত পদসমূহ (missing terms) নিৰ্ণয় কৰা :

(i) 2, [ ], 26
সমাধান:
দিয়া আছে,
প্ৰথম পদ (a) = 2
তৃতীয় পদ (a₃) = 26

আমি জানো যে, a₃ = a + 2d
⇒ 26 = 2 + 2d
⇒ 26 - 2 = 2d
⇒ 2d = 24
⇒ d = 24 / 2
⇒ d = 12

অতএব, লুপ্ত দ্বিতীয় পদ (a₂) = a + d
⇒ a₂ = 2 + 12 = 14
উত্তৰ: 14

---

(ii) [ ], 13, [ ], 3
সমাধান:
দিয়া আছে,
দ্বিতীয় পদ (a₂) = 13 ⇒ a + d = 13 -------- (সমীকৰণ ১)
চতুৰ্থ পদ (a₄) = 3 ⇒ a + 3d = 3 -------- (সমীকৰণ ২)

সমীকৰণ (২) ৰ পৰা (১) বিয়োগ কৰি পাওঁ:
(a + 3d) - (a + d) = 3 - 13
⇒ 2d = -10
⇒ d = -10 / 2
⇒ d = -5

d ৰ মান সমীকৰণ (১) ত বহুৱাই পাওঁ:
a + (-5) = 13
⇒ a = 13 + 5
⇒ a = 18 (প্ৰথম পদ)

তৃতীয় পদ (a₃) = a + 2d
⇒ a₃ = 18 + 2(-5)
⇒ a₃ = 18 - 10 = 8
উত্তৰ: প্ৰথম পদ = 18, তৃতীয় পদ = 8

---

(iii) 5, [ ], [ ], 9(1/2)
সমাধান:
দিয়া আছে,
প্ৰথম পদ (a) = 5
চতুৰ্থ পদ (a₄) = 9(1/2) = 19/2

আমি জানো যে, a₄ = a + 3d
⇒ 19/2 = 5 + 3d
⇒ 19/2 - 5 = 3d
⇒ (19 - 10) / 2 = 3d
⇒ 9/2 = 3d
⇒ d = 9 / (2 × 3)
⇒ d = 3/2

দ্বিতীয় পদ (a₂) = a + d = 5 + 3/2 = (10 + 3) / 2 = 13/2 = 6(1/2)
তৃতীয় পদ (a₃) = a₂ + d = 13/2 + 3/2 = 16/2 = 8
উত্তৰ: দ্বিতীয় পদ = 6(1/2), তৃতীয় পদ = 8

---

(iv) -4, [ ], [ ], [ ], [ ], 6
সমাধান:
দিয়া আছে,
প্ৰথম পদ (a) = -4
ষষ্ঠ পদ (a₆) = 6

a₆ = a + 5d
⇒ 6 = -4 + 5d
⇒ 6 + 4 = 5d
⇒ 10 = 5d
⇒ d = 2

a₂ = a + d = -4 + 2 = -2
a₃ = a₂ + d = -2 + 2 = 0
a₄ = a₃ + d = 0 + 2 = 2
a₅ = a₄ + d = 2 + 2 = 4
উত্তৰ: -2, 0, 2, 4

---

(v) [ ], 38, [ ], [ ], [ ], -22
সমাধান:
a₂ = 38 ⇒ a + d = 38 -------- (সমীকৰণ ১)
a₆ = -22 ⇒ a + 5d = -22 -------- (সমীকৰণ ২)

সমীকৰণ (২) ৰ পৰা (১) বিয়োগ কৰি পাওঁ:
(a + 5d) - (a + d) = -22 - 38
⇒ 4d = -60
⇒ d = -15

d ৰ মান সমীকৰণ (১) ত বহুৱাই পাওঁ:
a + (-15) = 38
⇒ a = 38 + 15 = 53 (প্ৰথম পদ)

a₃ = a₂ + d = 38 + (-15) = 23
a₄ = a₃ + d = 23 + (-15) = 8
a₅ = a₄ + d = 8 + (-15) = -7
উত্তৰ: 53, 23, 8, -7

প্ৰশ্ন ৪ - ১০: গাণিতিক সমাধানসমূহ :

প্ৰশ্ন ৪: 3, 8, 13, 18, ... সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ কোনটো পদ 78?
সমাধান:
দিয়া সমান্তৰ প্ৰগতিটো: 3, 8, 13, 18, ...
ইয়াত,
প্ৰথম পদ (a) = 3
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = 8 - 3 = 5
ধৰো, n-তম পদ (a_n) = 78

আমি জানো যে, a_n = a + (n - 1)d
⇒ 78 = 3 + (n - 1)5
⇒ 78 - 3 = 5(n - 1)
⇒ 75 = 5(n - 1)
⇒ n - 1 = 75 / 5
⇒ n - 1 = 15
⇒ n = 15 + 1
⇒ n = 16
উত্তৰ: সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ 16তম পদটো 78।

---

প্ৰশ্ন ৫: তলৰ প্ৰতিটো সমান্তৰ প্ৰগতিৰ পদৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা :
(i) 7, 13, 19, ..., 205
সমাধান:
a = 7
d = 13 - 7 = 6
n-তম পদ (a_n) = 205

a_n = a + (n - 1)d
⇒ 205 = 7 + (n - 1)6
⇒ 205 - 7 = 6(n - 1)
⇒ 198 = 6(n - 1)
⇒ n - 1 = 198 / 6
⇒ n - 1 = 33
⇒ n = 34
উত্তৰ: পদৰ সংখ্যা = 34

(ii) 18, 15(1/2), 13, ..., -47
সমাধান:
a = 18
d = 15(1/2) - 18 = 31/2 - 18 = (31 - 36) / 2 = -5/2
a_n = -47

a_n = a + (n - 1)d
⇒ -47 = 18 + (n - 1)(-5/2)
⇒ -47 - 18 = (n - 1)(-5/2)
⇒ -65 = (n - 1)(-5/2)
⇒ n - 1 = (-65 × 2) / (-5)
⇒ n - 1 = 13 × 2
⇒ n - 1 = 26
⇒ n = 27
উত্তৰ: পদৰ সংখ্যা = 27

---

প্ৰশ্ন ৬: 11, 8, 5, 2 ..... এই সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ -150 সংখ্যাটো কোনো এটা পদ হ'ব পাৰেনে পৰীক্ষা কৰা ।
সমাধান:
দিয়া সমান্তৰ প্ৰগতিটো: 11, 8, 5, 2, ...
a = 11
d = 8 - 11 = -3
ধৰো, n-তম পদ (a_n) = -150

a_n = a + (n - 1)d
⇒ -150 = 11 + (n - 1)(-3)
⇒ -150 - 11 = -3(n - 1)
⇒ -161 = -3(n - 1)
⇒ n - 1 = 161 / 3
⇒ n = 161/3 + 1
⇒ n = (161 + 3) / 3
⇒ n = 164 / 3

যিহেতু n ৰ মান এটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা হ'ব লাগে কিন্তু ইয়াত 164/3 এটা ভগ্নাংশ,
উত্তৰ: -150 সংখ্যাটো দিয়া সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ কোনো পদ হ'ব নোৱাৰে।

---

প্ৰশ্ন ৭: এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ 11তম পদটো 38 আৰু 16তম পদটো 73 হ'লে তাৰ 31তম পদটো নিৰ্ণয় কৰা ।
সমাধান:
দিয়া আছে,
a₁₁ = 38 ⇒ a + 10d = 38 -------- (সমীকৰণ ১)
a₁₆ = 73 ⇒ a + 15d = 73 -------- (সমীকৰণ ২)

সমীকৰণ (২) ৰ পৰা (১) বিয়োগ কৰি পাওঁ:
(a + 15d) - (a + 10d) = 73 - 38
⇒ 5d = 35
⇒ d = 35 / 5
⇒ d = 7

d ৰ মান সমীকৰণ (১) ত বহুৱাই পাওঁ:
a + 10(7) = 38
⇒ a + 70 = 38
⇒ a = 38 - 70
⇒ a = -32

এতিয়া, 31তম পদ (a₃₁) নিৰ্ণয় কৰোঁ:
a₃₁ = a + 30d
⇒ a₃₁ = -32 + 30(7)
⇒ a₃₁ = -32 + 210
⇒ a₃₁ = 178
উত্তৰ: সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ 31তম পদটো 178।

---

প্ৰশ্ন ৮: এটা সমান্তৰ প্ৰগতিত 50 টা পদ আছে যাৰ তৃতীয় পদটো 12 আৰু শেষ পদটো 106। 29তম পদটো নিৰ্ণয় কৰা ।
সমাধান:
দিয়া আছে,
মুঠ পদৰ সংখ্যা (n) = 50
তৃতীয় পদ (a₃) = 12 ⇒ a + 2d = 12 -------- (সমীকৰণ ১)
শেষ পদ (a₅₀) = 106 ⇒ a + 49d = 106 -------- (সমীকৰণ ২)

সমীকৰণ (২) ৰ পৰা (১) বিয়োগ কৰি পাওঁ:
47d = 94
⇒ d = 94 / 47
⇒ d = 2

d ৰ মান সমীকৰণ (১) ত বহুৱাই পাওঁ:
a + 2(2) = 12
⇒ a + 4 = 12
⇒ a = 8

এতিয়া, 29তম পদ (a₂₉) নিৰ্ণয় কৰোঁ:
a₂₉ = a + 28d
⇒ a₂₉ = 8 + 28(2)
⇒ a₂₉ = 8 + 56
⇒ a₂₉ = 64
উত্তৰ: 29তম পদটো 64।

---

প্ৰশ্ন ৯: যদি এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ তৃতীয় আৰু নৱম পদ দুটা ক্ৰমে 4 আৰু -8 হয় তেন্তে ইয়াৰ কোনটো পদ শূন্য হ'ব?
সমাধান:
দিয়া আছে,
a₃ = 4 ⇒ a + 2d = 4 -------- (সমীকৰণ ১)
a₉ = -8 ⇒ a + 8d = -8 -------- (সমীকৰণ ২)

সমীকৰণ (২) ৰ পৰা (১) বিয়োগ কৰি পাওঁ:
6d = -12
⇒ d = -12 / 6
⇒ d = -2

d ৰ মান সমীকৰণ (১) ত বহুৱাই পাওঁ:
a + 2(-2) = 4
⇒ a - 4 = 4
⇒ a = 8

ধৰো, n-তম পদ (a_n) = 0
a + (n - 1)d = 0
⇒ 8 + (n - 1)(-2) = 0
⇒ -2(n - 1) = -8
⇒ n - 1 = -8 / -2
⇒ n - 1 = 4
⇒ n = 5
উত্তৰ: সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ 5ম (পঞ্চম) পদটো শূন্য হ'ব।

---

প্ৰশ্ন ১০: এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ 17তম পদটো 10তম পদটোতকৈ 7 ডাঙৰ। সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ সাধাৰণ অন্তৰ নিৰ্ণয় কৰা ।
সমাধান:
প্ৰশ্নমতে,
a₁₇ - a₁₀ = 7
⇒ (a + 16d) - (a + 9d) = 7
⇒ a + 16d - a - 9d = 7
⇒ 7d = 7
⇒ d = 7 / 7
⇒ d = 1
উত্তৰ: সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ সাধাৰণ অন্তৰ d = 1।

প্ৰশ্ন ১১ - ২৫: লিখিত আৰু বহু-বিকল্পভিত্তিক (MCQs) প্ৰশ্নসমূহ :

প্ৰশ্ন ১১: 3, 15, 27, 39, ... সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ কোনটো পদ 54তম পদতকৈ 132 ডাঙৰ?
সমাধান:
দিয়া সমান্তৰ প্ৰগতিটো: 3, 15, 27, 39, ...
a = 3, d = 15 - 3 = 12

প্ৰথমে 54তম পদ (a₅₄) উলিয়াওঁ:
a₅₄ = a + 53d
⇒ a₅₄ = 3 + 53(12)
⇒ a₅₄ = 3 + 636 = 639

প্ৰশ্নমতে, নিৰ্ণেয় n-তম পদ (a_n) = a₅₄ + 132
⇒ a_n = 639 + 132 = 771
⇒ a + (n - 1)d = 771
⇒ 3 + (n - 1)12 = 771
⇒ 12(n - 1) = 771 - 3
⇒ 12(n - 1) = 768
⇒ n - 1 = 768 / 12
⇒ n - 1 = 64
⇒ n = 65
উত্তৰ: সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ 65তম পদটো 54তম পদতকৈ 132 ডাঙৰ।

---

প্ৰশ্ন ১২: দুটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ সাধাৰণ অন্তৰ একে। সিহঁতৰ 100তম পদ দুটাৰ পাৰ্থক্য 100। সিহঁতৰ 1000তম পদ দুটাৰ পাৰ্থক্য কিমান?
সমাধান:
ধৰো প্ৰথম AP ৰ প্ৰথম পদ = A, আৰু দ্বিতীয় AP ৰ প্ৰথম পদ = a।
দুয়োটা AP ৰ সাধাৰণ অন্তৰ = d।

প্ৰথম AP ৰ 100তম পদ = A + 99d
দ্বিতীয় AP ৰ 100তম পদ = a + 99d

প্ৰশ্নমতে,
(A + 99d) - (a + 99d) = 100
⇒ A - a = 100 -------- (সমীকৰণ ১)

এতিয়া, 1000তম পদ দুটাৰ পাৰ্থক্য:
(A + 999d) - (a + 999d) = A - a = 100 (সমীকৰণ ১ ৰ পৰা)
উত্তৰ: সিহঁতৰ 1000তম পদ দুটাৰ পাৰ্থক্য 100 হ'ব।

---

প্ৰশ্ন ১৩: কিমানটা তিনি অংকযুক্ত সংখ্যা 7 ৰে বিভাজ্য?
সমাধান:
7 ৰে বিভাজ্য তিনি অংকযুক্ত সংখ্যাসমূহ হ'ল: 105, 112, 119, ..., 994
ই এটা সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে য'ত,
a = 105, d = 7, আৰু শেষ পদ (a_n) = 994

a_n = a + (n - 1)d
⇒ 994 = 105 + (n - 1)7
⇒ 994 - 105 = 7(n - 1)
⇒ 889 = 7(n - 1)
⇒ n - 1 = 889 / 7
⇒ n - 1 = 127
⇒ n = 128
উত্তৰ: 7 ৰে বিভাজ্য তিনি অংকযুক্ত সংখ্যা 128 টা আছে।

---

প্ৰশ্ন ১৪: 10 আৰু 250 ৰ মাজত 4 ৰ গুণিতক কিমানটা আছে?
সমাধান:
10 আৰু 250 ৰ মাজত 4 ৰ গুণিতকসমূহ হ'ল: 12, 16, 20, ..., 248
ইয়াত, a = 12, d = 4, আৰু a_n = 248

a_n = a + (n - 1)d
⇒ 248 = 12 + (n - 1)4
⇒ 248 - 12 = 4(n - 1)
⇒ 236 = 4(n - 1)
⇒ n - 1 = 236 / 4
⇒ n - 1 = 59
⇒ n = 60
উত্তৰ: 4 ৰ গুণিতক 60 টা আছে।

---

প্ৰশ্ন ১৫: n ৰ কি মানৰ বাবে 63, 65, 67, ... আৰু 3, 10, 17, ... এই সমান্তৰ প্ৰগতি দুটাৰ nতম পদ দুটা সমান?
সমাধান:
প্ৰথম AP: 63, 65, 67, ...
a = 63, d = 65 - 63 = 2
n-তম পদ = 63 + (n - 1)2 = 63 + 2n - 2 = 61 + 2n

দ্বিতীয় AP: 3, 10, 17, ...
A = 3, D = 10 - 3 = 7
n-তম পদ = 3 + (n - 1)7 = 3 + 7n - 7 = 7n - 4

প্ৰশ্নমতে,
61 + 2n = 7n - 4
⇒ 61 + 4 = 7n - 2n
⇒ 65 = 5n
⇒ n = 65 / 5
⇒ n = 13
উত্তৰ: n = 13 ৰ বাবে পদ দুটা সমান হ'ব।

---

প্ৰশ্ন ১৬: এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ তৃতীয় পদটো 16 আৰু সপ্তম পদটো পঞ্চম পদটোতকৈ 12 ডাঙৰ। সমান্তৰ প্ৰগতিটো নিৰ্ণয় কৰা ।
সমাধান:
দিয়া আছে,
a₃ = 16 ⇒ a + 2d = 16 -------- (সমীকৰণ ১)
a₇ = a₅ + 12
⇒ (a + 6d) = (a + 4d) + 12
⇒ a + 6d - a - 4d = 12
⇒ 2d = 12
⇒ d = 6

d ৰ মান সমীকৰণ (১) ত বহুৱাই পাওঁ:
a + 2(6) = 16
⇒ a + 12 = 16
⇒ a = 4

গতিকে সমান্তৰ প্ৰগতিটো হ'ব:
a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...
⇒ 4, (4 + 6), (4 + 12), (4 + 18), ...
উত্তৰ: সমান্তৰ প্ৰগতিটো হ'ল 4, 10, 16, 22, ...

---

প্ৰশ্ন ১৭: 3, 8, 13, ..., 253 এই সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ শেষৰ ফালৰ পৰা 20তম পদটো নিৰ্ণয় কৰা ।
সমাধান:
দিয়া সমান্তৰ প্ৰগতিটো: 3, 8, 13, ..., 253
যদি আমি প্ৰগতিটো ওলোটাকৈ লিখোঁ, তেন্তে—
প্ৰথম পদ (a) = 253
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = 3 - 8 = -5
পদৰ সংখ্যা (n) = 20

এতিয়া শেষৰ পৰা 20তম পদ (অৰ্থাৎ ওলোটা প্ৰগতিটোৰ 20তম পদ) উলিয়াওঁ:
a₂₀ = a + (20 - 1)d
⇒ a₂₀ = 253 + (19)(-5)
⇒ a₂₀ = 253 - 95
⇒ a₂₀ = 158
উত্তৰ: শেষৰ ফালৰ পৰা 20তম পদটো 158।

---

প্ৰশ্ন ১৮: এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ চতুৰ্থ আৰু অষ্টম পদ দুটাৰ যোগফল 24 আৰু ষষ্ঠ আৰু দশম পদ দুটাৰ যোগফল 44। সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ প্ৰথম তিনিটা পদ নিৰ্ণয় কৰা ।
সমাধান:
প্ৰথম চৰ্তমতে,
a₄ + a₈ = 24
⇒ (a + 3d) + (a + 7d) = 24
⇒ 2a + 10d = 24
⇒ a + 5d = 12 -------- (সমীকৰণ ১)

দ্বিতীয় চৰ্তমতে,
a₆ + a₁₀ = 44
⇒ (a + 5d) + (a + 9d) = 44
⇒ 2a + 14d = 44
⇒ a + 7d = 22 -------- (সমীকৰণ ২)

সমীকৰণ (২) ৰ পৰা (১) বিয়োগ কৰি পাওঁ:
(a + 7d) - (a + 5d) = 22 - 12
⇒ 2d = 10
⇒ d = 5

d ৰ মান সমীকৰণ (১) ত বহুৱাই পাওঁ:
a + 5(5) = 12
⇒ a + 25 = 12
⇒ a = 12 - 25 = -13

প্ৰথম তিনিটা পদ:
a₁ = -13
a₂ = -13 + 5 = -8
a₃ = -8 + 5 = -3
উত্তৰ: প্ৰথম তিনিটা পদ ক্ৰমে -13, -8 আৰু -3।

---

প্ৰশ্ন ১৯: 1995 চনত চন্দনাই 5000 টকা বছৰেকীয়া দৰমহাত চাকৰি আৰম্ভ কৰিলে আৰু প্ৰতি বছৰে 200 টকাকৈ বৃদ্ধি (Increment) লাভ কৰিলে। কোন বছৰত তেওঁৰ দৰমহা 7000 টকা হ'ব?
সমাধান:
প্ৰতি বছৰৰ দৰমহাসমূহে এটা সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে: 5000, 5200, 5400, ..., 7000
ইয়াত,
a = 5000
d = 200
a_n = 7000

a_n = a + (n - 1)d
⇒ 7000 = 5000 + (n - 1)200
⇒ 7000 - 5000 = 200(n - 1)
⇒ 2000 = 200(n - 1)
⇒ n - 1 = 2000 / 200
⇒ n - 1 = 10
⇒ n = 11

অতএব, 11তম বছৰত তেওঁৰ দৰমহা 7000 টকা হ'ব।
নিৰ্ণেয় চন = 1995 + (11 - 1) = 2005 চন।
উত্তৰ: 2005 চনত তেওঁৰ দৰমহা 7000 টকা হ'ব।

---

প্ৰশ্ন ২০: ৰামচৰণে কোনো এটা বছৰৰ প্ৰথম সপ্তাহত 5 টকা সঞ্চয় কৰিলে আৰু প্ৰতি সপ্তাহত সঞ্চয়ৰ ধন 1.75 টকাকৈ বঢ়াই গৈ থাকিল। n-তম সপ্তাহত তেওঁৰ সাপ্তাহিক সঞ্চয়ৰ পৰিমাণ 20.75 টকা হ'লে n ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা ।
সমাধান:
প্ৰতি সপ্তাহৰ সঞ্চয়ৰ পৰিমাণে এটা সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে য'ত,
প্ৰথম পদ (a) = 5
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = 1.75
n-তম সপ্তাহৰ সঞ্চয় (a_n) = 20.75

a_n = a + (n - 1)d
⇒ 20.75 = 5 + (n - 1)1.75
⇒ 20.75 - 5 = 1.75(n - 1)
⇒ 15.75 = 1.75(n - 1)
⇒ n - 1 = 15.75 / 1.75
⇒ n - 1 = 1575 / 175
⇒ n - 1 = 9
⇒ n = 9 + 1
⇒ n = 10
উত্তৰ: n ৰ মান = 10।

---

প্ৰশ্ন ২১: স্তম্ভ (I) ৰ লগত স্তম্ভ (II) মিলোৱা :
স্তম্ভ (I):
P) 2, 4, 6, 8... AP টোৰ a₅ হ'ব
Q) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2... AP টোৰ সাধাৰণ অন্তৰ (d) হ'ব
R) 3, 6, 9, 12... AP টোৰ প্ৰথম পদ (a) হ'ব
S) 0, -4, -8, -12... AP টোৰ a₄ - a₃ ৰ মান হ'ব
স্তম্ভ (II):
1) -2
2) -4
3) 10
4) 3

সমাধান:
P) 2, 4, 6, 8... ৰ a₅ = a + 4d = 2 + 4(2) = 10 (মান ৩)
Q) -1.2, -3.2... ৰ d = -3.2 - (-1.2) = -2 (মান ১)
R) 3, 6, 9... ৰ প্ৰথম পদ a = 3 (মান ৪)
S) 0, -4, -8, -12... ৰ a₄ - a₃ = -12 - (-8) = -4 (মান ২)
উত্তৰ: (B) P→3, Q→1, R→4, S→2

---

প্ৰশ্ন ২২: তলত দিয়া কোনবোৰ উক্তি শুদ্ধ বা অশুদ্ধ?
P) a₁, a₂, a₃... এটা AP হ'ব যদিহে a_n+1 - a_n, n সাপেক্ষে স্বতন্ত্ৰ হয় (শুদ্ধ)।
Q) a₁, a₂... AP টোৰ বাবে a_p - a_q = (p - q)d (শুদ্ধ)।
R) AP টোৰ প্ৰথম পদ a আৰু সাধাৰণ অন্তৰ d হ'লে n-তম পদ a_n = a + (n - 1)d (শুদ্ধ)।
উত্তৰ: (C) P, Q আৰু R আটাইকেইটা সত্য

---

প্ৰশ্ন ২৩: -1, 3, 7, 11, ... 95 AP টোৰ মুঠ পদৰ সংখ্যা উলিওৱাৰ স্তৰসমূহ সজাই লিখা :
(i) -1 + 4n - 4 = 95
(ii) n = 25
(iii) a_n = 95
(iv) -1 + (n - 1)4 = 95

সমাধান:
প্ৰথম ধাপ: a_n = 95 প্ৰকাশ কৰা (iii)
দ্বিতীয় ধাপ: সূত্ৰত মান বহুৱাই -1 + (n - 1)4 = 95 (iv)
তৃতীয় ধাপ: ব্ৰেকেট ভাঙি -1 + 4n - 4 = 95 (i)
চতুৰ্থ ধাপ: সমাধান কৰি n = 25 (ii)
উত্তৰ: (C) (iii)→(iv)→(i)→(ii)

---

প্ৰশ্ন ২৪: এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম তিনিটা পদ ক্ৰমে b, c আৰু 2b হ'লে b আৰু c ৰ অনুপাত নিৰ্ণয় কৰা ।
সমাধান:
যিহেতু পদ তিনিটা (b, c, 2b) সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে, ∴ সাধাৰণ অন্তৰ সমান হ'ব।
c - b = 2b - c
⇒ c + c = 2b + b
⇒ 2c = 3b
⇒ b / c = 2 / 3
উত্তৰ: b আৰু c ৰ অনুপাত (b : c) = 2 : 3।

---

প্ৰশ্ন ২৫: তিনি অংকবিশিষ্ট এই ধনাত্মক সংখ্যাৰ অংক তিনটাই AP গঠন কৰে আৰু সিহঁতৰ সমষ্টি 15। অংককেইটা ওলোটাই পোৱা সংখ্যাটো মূল সংখ্যাটোতকৈ 594 কম। সংখ্যাটো নিৰ্ণয় কৰা ।
সমাধান:
ধৰো তিনি অংকযুক্ত সংখ্যাটোৰ অংক তিনিটা ক্ৰমে (a - d), a, আৰু (a + d)।
প্ৰথম চৰ্তমতে, অংক তিনিটাৰ সমষ্টি = 15
⇒ (a - d) + a + (a + d) = 15
⇒ 3a = 15
⇒ a = 5

অতএব, অংক তিনিটা হ'ল: (5 - d), 5, আৰু (5 + d)।
মূল সংখ্যাটো = 100(5 - d) + 10(5) + 1(5 + d)
= 500 - 100d + 50 + 5 + d
= 555 - 99d

অংকসমূহ ওলোটাই লিখিলে পোৱা সংখ্যাটো = 100(5 + d) + 10(5) + 1(5 - d)
= 500 + 100d + 50 + 5 - d
= 555 + 99d

দ্বিতীয় চৰ্তমতে,
(মূল সংখ্যা) - (ওলোটাই পোৱা সংখ্যা) = 594
⇒ (555 - 99d) - (555 + 99d) = 594
⇒ 555 - 99d - 555 - 99d = 594
⇒ -198d = 594
⇒ d = 594 / (-198)
⇒ d = -3

অতএব, অংক তিনিটা হ'ল:
শতকৰ অংক = 5 - (-3) = 8
দহকৰ অংক = 5
এককৰ অংক = 5 + (-3) = 2

উত্তৰ: নিৰ্ণেয় সংখ্যাটো 852।

Q1. Class 10 maths 5.2 assamese medium question answer বোৰত কোনো এটা সংখ্যা AP ৰ পদ হয়নে নহয় কেনেকৈ পৰীক্ষা কৰা হয়?

Ans: সংখ্যাটোক a_n বুলি ধৰি সূত্ৰ a_n = a + (n - 1)d ৰ পৰা n ৰ মান উলিওৱা হয়। যদি n ৰ মান এটা ধণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা হয়, তেন্তে সংখ্যাটো AP টোৰ পদ হ'ব, নহ'লে নহয়।

Q2. Class 10 5.2 assamese new math solution pdf download কিদৰে কৰিব পাৰি?

Ans: আপুনি আমাৰ এই ৱেবছাইটৰ পৰাই Class 10 Chapter 5 Exercise 5.2 ৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান মোবাইল বা কম্পিউটাৰত সহাজে পঢ়িব আৰু প্ৰয়োজনে সংৰক্ষণ কৰি ৰাখিব পাৰিব।

Q3. অনুশীলনী 5.2 class 10 ৰ পৰা SEBA মেট্ৰিক পৰীক্ষাত কি ধৰণৰ প্ৰশ্ন আহে?

Ans: সাধাৰণতে নিৰ্দিষ্ট পদ নিৰ্ণয় কৰা (যেনে: 30তম পদ), লুপ্ত পদ নিৰ্ণয়, বিভাজ্য সংখ্যাৰ সংখ্যা উলিওৱা (যেনে: 7 ৰে বিভাজ্য 3 অংকৰ সংখ্যা) আৰু চৰ্তভিত্তিক 2 ৰ পৰা 4 নম্বৰৰ প্ৰশ্ন সোধা হয়।