অনুশীলনী 1.2 সম্পূৰ্ণ সমাধান | Class 10 Maths Chapter 1 Exercise 1.2 Solutions in Assamese | SEBA Class 10 Maths New Book 2026

প্ৰশ্ন ১: দেখুওৱা যে √5 অপৰিমেয়।

প্ৰমাণ (Proof):
বিৰুদ্ধভাৱে আমি ধৰি লওঁ যে √5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
গতিকে, আমি দুটা সহমৌলিক (coprime) অখণ্ড সংখ্যা a আৰু b (b ≠ 0) পাব পাৰোঁ যাতে—
√5 = a / b
⇒ a = b√5

দুয়োপিনে বৰ্গ কৰি পাওঁ—
a² = 5b² ------ (1)

ইয়ালৈ লক্ষ্য কৰিলে দেখা যায় যে a², 5 ৰে বিভাজ্য। গতিকে উপপাদ্য 1.2 অনুসৰি, a ও 5 ৰে বিভাজ্য হ'ব।
সেয়েহে, আমি ধৰিব পাৰোঁ a = 5c, য'ত c যিকোনো এটা অখণ্ড সংখ্যা।

এতিয়া a ৰ মান (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ—
(5c)² = 5b²
⇒ 25c² = 5b²
⇒ b² = 5c²

ইয়ার অৰ্থ হ'ল b², 5 ৰে বিভাজ্য আৰু সেয়েহে b ও 5 ৰে বিভাজ্য।

গতিকে, a আৰু b উভয়ৰে অন্ততঃ এটা সাধাৰণ উৎপাদক 5 আছে।
কিন্তু ই আমাৰ মূল ধাৰণা "a আৰু b সহমৌলিক" (অৰ্থাৎ 1 ৰ বাহিৰে অন্য কোনো সাধাৰণ উৎপাদক নাই) ৰ সত্যতাৰ বিৰোধ কৰে।
এই বিৰুদ্ধ ফলৰ কাৰণ হৈছে "√5 পৰিমেয়" বুলি কৰা আমাৰ ধাৰণাটো অশুদ্ধ আছিল।

প্ৰশ্ন ২: দেখুওৱা যে 3 + 2√5 অপৰিমেয়।

প্ৰমাণ:
বিৰুদ্ধভাৱে ধৰো 3 + 2√5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
তেন্তে আমি a আৰু b (b ≠ 0) সহমৌলিক অখণ্ড সংখ্যা পাব পাৰোঁ যাতে—
3 + 2√5 = a / b
⇒ 2√5 = (a / b) - 3
⇒ 2√5 = (a - 3b) / b
⇒ √5 = (a - 3b) / 2b

যিহেতু a, b আৰু 3 অখণ্ড সংখ্যা, সেয়েহে (a - 3b) / 2b ৰ মান এটা পৰিমেয় সংখ্যা হ'ব।
ইয়াৰ অৰ্থ হ'ব যে √5 ও এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
কিন্তু ই "√5 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা" এই প্ৰতিষ্ঠিত সত্যৰ বিৰোধ কৰে।
এই বিৰুদ্ধতাৰ কাৰণ হ'ল 3 + 2√5 ক পৰিমেয় বুলি ধৰা আমাৰ ধাৰণাটো ভুল আছিল।

প্ৰশ্ন ৩: দেখুওৱা যে তলৰ সংখ্যাবোৰ অপৰিমেয়:

(i) 1 / √2:
ধৰো 1 / √2 এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
গতিকে, 1 / √2 = a / b (য'ত a, b সহমৌলিক আৰু b ≠ 0)
⇒ √2 = b / a
যিহেতু a, b অখণ্ড সংখ্যা, গতিকে b / a পৰিমেয়। ইয়াৰ অৰ্থ √2 পৰিমেয় হ'ব লাগিব, যিটো অসম্ভৱ।
∴ 1 / √2 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা (প্ৰমাণিত)।

---

(ii) 7√5:
ধৰো 7√5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
গতিকে, 7√5 = a / b ⇒ √5 = a / 7b
যিহেতু a, b আৰু 7 অখণ্ড সংখ্যা, গতিকে a / 7b পৰিমেয়, যাৰ অৰ্থ √5 পৰিমেয়। কিন্তু ই সত্যৰ বিপৰীত।
∴ 7√5 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা (প্ৰমাণিত)।

---

(iii) 6 + √2:
ধৰো 6 + √2 পৰিমেয়।
গতিকে, 6 + √2 = a / b ⇒ √2 = (a / b) - 6 = (a - 6b) / b
যিহেতু (a - 6b) / b পৰিমেয়, গতিকে √2 পৰিমেয় হ'ব লাগে, যিটো অশুদ্ধ।
∴ 6 + √2 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা (প্ৰমাণিত)।

প্ৰশ্ন ৪ - ৮: বহু-বিকল্পভিত্তিক প্ৰশ্নসমূহ (MCQs):

প্ৰশ্ন ৪: এটা অশূন্য পৰিমেয় সংখ্যা আৰু এটা অপৰিমেয় সংখ্যাৰ পূৰণফল—
(A) সদায়েই অপৰিমেয়
(B) সদায়েই পৰিমেয়
(C) সদায়েই অখণ্ড সংখ্যা
(D) পৰিমেয় বা অপৰিমেয়
উত্তৰ: (A) সদায়েই অপৰিমেয়

---

প্ৰশ্ন ৫: √5 + √3 + 2 সংখ্যাটো—
(A) এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা
(B) এটা অখণ্ড সংখ্যা
(C) এটা পৰিমেয় সংখ্যা
(D) এটা অপৰিমেয় সংখ্যা
উত্তৰ: (D) এটা অপৰিমেয় সংখ্যা

---

প্ৰশ্ন ৬: উক্তি (A): √2 + √5 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা। যুক্তি (R): যদি p আৰু q মৌলিক ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা, তেন্তে √p + √q এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
উত্তৰ: (A) উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) দুয়োটাই সত্য আৰু যুক্তি (R), উক্তি (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।

---

প্ৰশ্ন ৭: উক্তি (A): √a এটা অপৰিমেয় সংখ্যা, যেতিয়া a এটা মৌলিক সংখ্যা হয়। যুক্তি (R): যিকোনো মৌলিক সংখ্যাৰ বৰ্গমূল এটা অপৰিমেয় সংখ্যা হয়।
উত্তৰ: (A) উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) দুয়োটাই সত্য আৰু যুক্তি (R), উক্তি (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।

---

প্ৰশ্ন ৮: √2, √3, √5, √6, √7, √8, √10 আটাইবোৰেই অপৰিমেয় হ'লে তলৰ কোনটো যোৰ সদৃশ অপৰিমেয়?
(A) √3, √6
(B) √8, √10
(C) √2, √8
(D) √7, √8
ব্যাখ্যা: √8 = √(4 × 2) = 2√2। ইয়াত √2 আৰু √8 দুয়োৰে অপৰিমেয় অংশটো √2।
উত্তৰ: (C) √2, √8

Q1. SEBA Class 10 Maths Chapter 1 Exercise 1.2 ৰ পৰা পৰীক্ষাত কেনেকুৱা প্ৰশ্ন আহে?

Ans: এই অনুশীলনীৰ পৰা প্ৰধানকৈ √5 বা 3 + 2√5 অপৰিমেয় বুলি প্ৰমাণ কৰা, আৰু MCQs (যেনে সদৃশ অপৰিমেয় চিনাক্তকৰণ) পৰীক্ষাত সঘনাই আহে।

Q2. অপৰিমেয় সংখ্যা প্ৰমাণ কৰাৰ পদ্ধতিটোক কি বোলা হয়?

Ans: অপৰিমেয় সংখ্যা প্ৰমাণ কৰোঁতে 'বিৰুদ্ধৰ সহায়ত প্রমাণ' (Proof by Contradiction) কৌশল ব্যৱহাৰ কৰা হয়।